Feladat: B.4860 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csahók Tímea ,  Fekete Balázs Attila ,  Fülöp Anna Tácia ,  Noszály Áron ,  Póta Balázs ,  Simon Dániel Gábor ,  Tiderenczl Dániel ,  Tiszay Ádám ,  Vári-Kakas Andor ,  Várkonyi Dorka ,  Velkey Vince ,  Zólomy Kristóf ,  Zsigri Bálint 
Füzet: 2017/november, 473 - 474. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Paraméteres egyenletek, Másodfokú függvények
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2017/március: B.4860

Tegyük fel, hogy a<b<c<d és a+db+c. Mutassuk meg, hogy az
1a-x-1b-x-1c-x+1d-x=0
egyenletnek pontosan két különböző gyöke van, amelyek közül az egyik a (b,c) intervallumba, a másik pedig az (a,d) intervallumon kívül esik.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Az egyenletet rendezzük először úgy, hogy mindkét oldalon két-két tört szerepeljen.
1a-x-1b-x-1c-x+1d-x=0,1a-x-1b-x=1c-x-1d-x.


A két oldalon külön-külön közös nevezőre hozva így olyan törtkifejezéseket kapunk, amelyeknek számlálója már nem tartalmaz ismeretlent:
b-a(a-x)(b-x)=d-c(c-x)(d-x).
A nevezőkkel történő beszorzás és egy oldalra rendezés után rögtön látható, hogy (a+db+c miatt) egy másodfokú P(x) polinom zérushelyeit keressük.
(b-a)(c-x)(d-x)=(d-c)(a-x)(b-x),P(x)=(b-a)(c-x)(d-x)-(d-c)(a-x)(b-x).


Ezek a zérushelyek egyben az eredeti egyenlet összes megoldásai is, mivel az eredeti egyenlet értelmezési tartományában nem szereplő a, b, c, d értékek egyikére sem lesz P(x)=0. A polinomba behelyettesítve az egyes értékeket kapjuk, hogy P(b)>0 és P(c)<0, ezért az egyenletnek két megoldása van, amelyek közül az egyik a (b,c) intervallumba esik. A másik nem eshet ebbe az intervallumba, mert ha a polinom mindkét gyöke ebbe az intervallumba esne, akkor b-ben és c-ben ugyanolyan előjelű értéket kellene felvennie. Az egyenlet másik gyöke viszont nem eshet sem az (a,b), sem a (c,d) intervallumba, mert pl. az (a,b) intervallumon azt látjuk, hogy b-a>0, c-x>0, d-x>0, azaz (b-a)(c-x)(d-x)>0, továbbá d-c>0, a-x<0, b-x>0, azaz (d-c)(a-x)(b-x)<0, tehát ezen az intervallumon P(x) pozitív értékeket vesz fel, itt nem lehet zérushely. Hasonlóan a (c,d) intervallumot vizsgálva láthatjuk, hogy itt P(x) csak negatív értékeket vesz fel, így itt sem lehet gyök.
P(x)-ről tudjuk, hogy pozitív és negatív értéket is felvesz, így megállapítottuk, hogy két különböző gyöke van. Mivel se (b,c)-be, se (a,b)-be, se (c,d)-be nem eshet a másik gyök, azért biztos, hogy (a,d)-n kívül esik.