Feladat:	B.4860	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csahók Tímea ,  Fekete Balázs Attila ,  Fülöp Anna Tácia ,  Noszály Áron ,  Póta Balázs ,  Simon Dániel Gábor ,  Tiderenczl Dániel ,  Tiszay Ádám ,  Vári-Kakas Andor ,  Várkonyi Dorka ,  Velkey Vince ,  Zólomy Kristóf ,  Zsigri Bálint
Füzet:	2017/november, 473 - 474. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Paraméteres egyenletek, Másodfokú függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/március: B.4860

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az egyenletet rendezzük először úgy, hogy mindkét oldalon két-két tört szerepeljen. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{1}{a-x}-\frac{1}{b-x}-\frac{1}{c-x}+\frac{1}{d-x}=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{a-x}-\frac{1}{b-x}=\frac{1}{c-x}-\frac{1}{d-x}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A két oldalon külön-külön közös nevezőre hozva így olyan törtkifejezéseket kapunk, amelyeknek számlálója már nem tartalmaz ismeretlent: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{b-a}{\left(a-x\right)\left(b-x\right)}=\frac{d-c}{\left(c-x\right)\left(d-x\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ A nevezőkkel történő beszorzás és egy oldalra rendezés után rögtön látható, hogy ($a+d\ne b+c$ miatt) egy másodfokú $P\left(x\right)$ polinom zérushelyeit keressük. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(b-a\right)\left(c-x\right)\left(d-x\right)=\left(d-c\right)\left(a-x\right)\left(b-x\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle P\left(x\right)=\left(b-a\right)\left(c-x\right)\left(d-x\right)-\left(d-c\right)\left(a-x\right)\left(b-x\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezek a zérushelyek egyben az eredeti egyenlet összes megoldásai is, mivel az eredeti egyenlet értelmezési tartományában nem szereplő $a$, $b$, $c$, $d$ értékek egyikére sem lesz $P\left(x\right)=0$. A polinomba behelyettesítve az egyes értékeket kapjuk, hogy $P\left(b\right)>0$ és $P\left(c\right)<0$, ezért az egyenletnek két megoldása van, amelyek közül az egyik a $\left(b\mathrm{,}c\right)$ intervallumba esik. A másik nem eshet ebbe az intervallumba, mert ha a polinom mindkét gyöke ebbe az intervallumba esne, akkor $b$-ben és $c$-ben ugyanolyan előjelű értéket kellene felvennie. Az egyenlet másik gyöke viszont nem eshet sem az $\left(a\mathrm{,}b\right)$, sem a $\left(c\mathrm{,}d\right)$ intervallumba, mert pl. az $\left(a\mathrm{,}b\right)$ intervallumon azt látjuk, hogy $b-a>0$, $c-x>0$, $d-x>0$, azaz $\left(b-a\right)\left(c-x\right)\left(d-x\right)>0$, továbbá $d-c>0$, $a-x<0$, $b-x>0$, azaz $\left(d-c\right)\left(a-x\right)\left(b-x\right)<0$, tehát ezen az intervallumon $P\left(x\right)$ pozitív értékeket vesz fel, itt nem lehet zérushely. Hasonlóan a $\left(c\mathrm{,}d\right)$ intervallumot vizsgálva láthatjuk, hogy itt $P\left(x\right)$ csak negatív értékeket vesz fel, így itt sem lehet gyök. $P\left(x\right)$-ről tudjuk, hogy pozitív és negatív értéket is felvesz, így megállapítottuk, hogy két különböző gyöke van. Mivel se $\left(b\mathrm{,}c\right)$-be, se $\left(a\mathrm{,}b\right)$-be, se $\left(c\mathrm{,}d\right)$-be nem eshet a másik gyök, azért biztos, hogy $\left(a\mathrm{,}d\right)$-n kívül esik.