|
Feladat: |
B.4860 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Csahók Tímea , Fekete Balázs Attila , Fülöp Anna Tácia , Noszály Áron , Póta Balázs , Simon Dániel Gábor , Tiderenczl Dániel , Tiszay Ádám , Vári-Kakas Andor , Várkonyi Dorka , Velkey Vince , Zólomy Kristóf , Zsigri Bálint |
Füzet: |
2017/november,
473 - 474. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Paraméteres egyenletek, Másodfokú függvények |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2017/március: B.4860 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az egyenletet rendezzük először úgy, hogy mindkét oldalon két-két tört szerepeljen.
A két oldalon külön-külön közös nevezőre hozva így olyan törtkifejezéseket kapunk, amelyeknek számlálója már nem tartalmaz ismeretlent: | | A nevezőkkel történő beszorzás és egy oldalra rendezés után rögtön látható, hogy ( miatt) egy másodfokú polinom zérushelyeit keressük.
Ezek a zérushelyek egyben az eredeti egyenlet összes megoldásai is, mivel az eredeti egyenlet értelmezési tartományában nem szereplő , , , értékek egyikére sem lesz . A polinomba behelyettesítve az egyes értékeket kapjuk, hogy és , ezért az egyenletnek két megoldása van, amelyek közül az egyik a intervallumba esik. A másik nem eshet ebbe az intervallumba, mert ha a polinom mindkét gyöke ebbe az intervallumba esne, akkor -ben és -ben ugyanolyan előjelű értéket kellene felvennie. Az egyenlet másik gyöke viszont nem eshet sem az , sem a intervallumba, mert pl. az intervallumon azt látjuk, hogy , , , azaz , továbbá , , , azaz , tehát ezen az intervallumon pozitív értékeket vesz fel, itt nem lehet zérushely. Hasonlóan a intervallumot vizsgálva láthatjuk, hogy itt csak negatív értékeket vesz fel, így itt sem lehet gyök. -ről tudjuk, hogy pozitív és negatív értéket is felvesz, így megállapítottuk, hogy két különböző gyöke van. Mivel se -be, se -be, se -be nem eshet a másik gyök, azért biztos, hogy -n kívül esik. |
|