Feladat: C.1404 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Agócs Katinka ,  Édes Lili ,  Horváth László ,  Kocsis Júlia ,  Komoróczy Ádám ,  Kormányos Hanna Rebeka ,  Magyar Boglárka ,  Mészáros Melinda ,  Nagy Olivér ,  Németh Csilla Márta ,  Rittgasszer Ákos ,  Surján Anett ,  Szécsi Adél Lilla ,  Szilágyi Éva ,  Takács Réka ,  Tanács Viktória ,  Tatai Mihály ,  Thuróczy Mylan ,  Török Boldizsár ,  Zsombó István 
Füzet: 2017/október, 412 - 413. oldal  PDF file
Témakör(ök): C gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek hasonlósága, Súlyvonal
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2017/február: C.1404

Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapjának F felezőpontjából a BC oldalra bocsátott merőleges talppontja D. Az FD szakasz felezőpontja G. Mutassuk meg, hogy AD merőleges CG-re.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Legyen EBD szakasz felezőpontja. Mivel G az FD szakasz a felezőpontja, azért EGBDF háromszögnek középvonala, és így EGBF. Mivel BF merőleges CF-re, azért EG is merőleges CF-re (1. ábra).


 

1. ábra
 

Továbbá, mivel FD merőleges BC-re, EG pedig CF-re, azért a G pont az FEC háromszög magasságpontja. Ebből következik, hogy CG merőleges az EF szakaszra.
Az ABD háromszögben EBD oldal, F pedig az AB oldal felezőpontja, így EF az ABD háromszög középvonala, amiből következik, hogy EFAD.
Mivel CG merőleges EF-re, azért merőleges az EF-fel párhuzamos AD szakaszra is.
 
II. megoldás. AFC=BFC=90. Az A pontból állítsunk merőlegest a BC oldalra, talppontját nevezzük A0-nak.
ABC=CFD, mert merőleges szárú hegyesszögek. Így az AA0B és a CFD derékszögű háromszögeknek két szöge is megegyezik, így hasonlóak. Az AB oldal merőleges a CF-re, ha ezeket azonos szöggel forgatjuk azonos (pozitív vagy negatív) irányba, az általuk bezárt szög 90 marad (2. ábra).


 

2. ábra
 

Mivel F az AB oldal felezőpontja és FDAA0, azért az FD az ABA0 háromszög középvonala és DBA0 szakasz felezőpontja. Tehát AD az AA0B háromszög A csúcsából a szemközti oldal felezőpontjába megy, hasonlóan a CGCFD háromszög C csúcsából az FD felezőpontjába. Így az ABD háromszög hasonló a CFG háromszöghöz. Emiatt BAD=FCG. Tehát ha ezzel a szöggel forgatjuk el az AB, illetve a CF szakaszokat, melyekről tudjuk, hogy merőlegesek egymásra, akkor pontosan az AD szakasz, illetve a CG szakasz egyenesére jutunk, azaz ezek is merőlegesek egymásra.
 
III. megoldás. Bizonyítandó, hogy az AD szakasz merőleges a CG-re. Vektorokkal ez úgy írható fel, hogy a skaláris szorzatuk 0, tehát ADCG=0. Ezt szeretnénk belátni. Alakítsuk a bal oldalt:
ADCG=(AF+FD)CF+CD2==AFCF+AFCD+FDCF+FDCD2.
Tudjuk, hogy AFCF és FDCD, tehát skaláris szorzatuk 0. Így a kifejezést tovább alakítva, az egyenlő lesz az alábbival:
AFCD+FDCF2=AF(CF+FD)+FD(CB+BF)2.
Mivel AFCF és FDCB, azért ez egyenlő az alábbival:
AFFD+FDBF2=FD(AF+BF)2.

Mivel AF+BF=0, így ezzel beláttuk, hogy az ADCG szorzat valóban zérus, tehát az AD és CG szakaszok derékszöget zárnak be egymással.
 
IV. megoldás. Helyezzük el a háromszöget a derékszögű koordinátarendszerben a következőképpen: F(0;0), A(-b;0), B(b;0), C(0;c). Ekkor CB(b;-c), az FD egyenes egyenlete bx-cy=0, másképp x=cby; a CB egyenes egyenlete pedig cx+by=cb.
Mivel a két egyenes metszéspontja D, ezért a CB egyenletébe behelyettesítve x=cby-t, megkapjuk D koordinátáit:
D(c2bc2+b2;cb2c2+b2).
G az FD felezőpontja:
G(12c2bc2+b2;12cb2c2+b2).
Ebből
CG(12c2bc2+b2;12-cb2-2c3c2+b2)ésAD(2c2b+b3c2+b2;cb2c2+b2).

A merőlegesség szükséges és elégséges feltétele az, hogy a skaláris szorzat 0 legyen:
CGAD=12c2bc2+b22c2b+b3c2+b2+12-cb2-2c3c2+b2cb2c2+b2=0.
Ezzel állításunkat beláttuk.