Feladat:	C.1404	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Agócs Katinka ,  Édes Lili ,  Horváth László ,  Kocsis Júlia ,  Komoróczy Ádám ,  Kormányos Hanna Rebeka ,  Magyar Boglárka ,  Mészáros Melinda ,  Nagy Olivér ,  Németh Csilla Márta ,  Rittgasszer Ákos ,  Surján Anett ,  Szécsi Adél Lilla ,  Szilágyi Éva ,  Takács Réka ,  Tanács Viktória ,  Tatai Mihály ,  Thuróczy Mylan ,  Török Boldizsár ,  Zsombó István
Füzet:	2017/október, 412 - 413. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek hasonlósága, Súlyvonal
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/február: C.1404

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Legyen $E$ a $BD$ szakasz felezőpontja. Mivel $G$ az $FD$ szakasz a felezőpontja, azért $EG$ a $BDF$ háromszögnek középvonala, és így $EG\parallel BF$. Mivel $BF$ merőleges $CF$-re, azért $EG$ is merőleges $CF$-re (1. ábra).   1. ábra   Továbbá, mivel $FD$ merőleges $BC$-re, $EG$ pedig $CF$-re, azért a $G$ pont az $FEC$ háromszög magasságpontja. Ebből következik, hogy $CG$ merőleges az $EF$ szakaszra. Az $ABD$ háromszögben $E$ a $BD$ oldal, $F$ pedig az $AB$ oldal felezőpontja, így $EF$ az $ABD$ háromszög középvonala, amiből következik, hogy $EF\parallel AD$. Mivel $CG$ merőleges $EF$-re, azért merőleges az $EF$-fel párhuzamos $AD$ szakaszra is.   II. megoldás. $AFC\sphericalangle =BFC\sphericalangle ={90}^{\circ }$. Az $A$ pontból állítsunk merőlegest a $BC$ oldalra, talppontját nevezzük $A_0$-nak. $ABC\sphericalangle =CFD\sphericalangle$, mert merőleges szárú hegyesszögek. Így az $A{A}_{0}B$ és a $CFD$ derékszögű háromszögeknek két szöge is megegyezik, így hasonlóak. Az $AB$ oldal merőleges a $CF$-re, ha ezeket azonos szöggel forgatjuk azonos (pozitív vagy negatív) irányba, az általuk bezárt szög ${90}^{\circ }$ marad (2. ábra).   2. ábra   Mivel $F$ az $AB$ oldal felezőpontja és $FD\parallel A{A}_0$, azért az $FD$ az $AB{A}_0$ háromszög középvonala és $D$ a $B{A}_0$ szakasz felezőpontja. Tehát $AD$ az $A{A}_{0}B$ háromszög $A$ csúcsából a szemközti oldal felezőpontjába megy, hasonlóan a $CG$ a $CFD$ háromszög $C$ csúcsából az $FD$ felezőpontjába. Így az $ABD$ háromszög hasonló a $CFG$ háromszöghöz. Emiatt $BAD\sphericalangle =FCG\sphericalangle$. Tehát ha ezzel a szöggel forgatjuk el az $AB$, illetve a $CF$ szakaszokat, melyekről tudjuk, hogy merőlegesek egymásra, akkor pontosan az $AD$ szakasz, illetve a $CG$ szakasz egyenesére jutunk, azaz ezek is merőlegesek egymásra.   III. megoldás. Bizonyítandó, hogy az $AD$ szakasz merőleges a $CG$-re. Vektorokkal ez úgy írható fel, hogy a skaláris szorzatuk 0, tehát $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CG}=0$. Ezt szeretnénk belátni. Alakítsuk a bal oldalt: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CG}}& {\displaystyle =\left(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FD}\right)\cdot \frac{\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{CD}}{2}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{CF}+\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{CD}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tudjuk, hogy $\overrightarrow{AF}\perp \overrightarrow{CF}$ és $\overrightarrow{FD}\perp \overrightarrow{CD}$, tehát skaláris szorzatuk 0. Így a kifejezést tovább alakítva, az egyenlő lesz az alábbival: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{CF}}{2}=\frac{\overrightarrow{AF}\left(\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FD}\right)+\overrightarrow{FD}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}\right)}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $\overrightarrow{AF}\perp \overrightarrow{CF}$ és $\overrightarrow{FD}\perp \overrightarrow{CB}$, azért ez egyenlő az alábbival: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{FD}+\overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{BF}}{2}=\frac{\overrightarrow{FD}\left(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}\right)}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}=\text{0}$, így ezzel beláttuk, hogy az $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CG}$ szorzat valóban zérus, tehát az $\overrightarrow{AD}$ és $\overrightarrow{CG}$ szakaszok derékszöget zárnak be egymással.   IV. megoldás. Helyezzük el a háromszöget a derékszögű koordinátarendszerben a következőképpen: $F\left(0;0\right)$, $A\left(-b;0\right)$, $B\left(b;0\right)$, $C\left(0;c\right)$. Ekkor $\overrightarrow{CB}\left(b;-c\right)$, az $FD$ egyenes egyenlete $bx-cy=0$, másképp $x=\frac{c}{b}y$; a $CB$ egyenes egyenlete pedig $cx+by=cb$. Mivel a két egyenes metszéspontja $D$, ezért a $CB$ egyenletébe behelyettesítve $x=\frac{c}{b}y$-t, megkapjuk $D$ koordinátáit: $\begin{array}{c}{\displaystyle D\left(\frac{c^{2}b}{c^2+b^2};\frac{c{b}^2}{c^2+b^2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ $G$ az $FD$ felezőpontja: $\begin{array}{c}{\displaystyle G\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{c^{2}b}{c^2+b^2};\frac{1}{2}\cdot \frac{c{b}^2}{c^2+b^2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{CG}\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{c^{2}b}{c^2+b^2};\frac{1}{2}\cdot \frac{-c{b}^2-2c^3}{c^2+b^2}\right)\text{és}\overrightarrow{AD}\left(\frac{2c^{2}b+b^3}{c^2+b^2};\frac{c{b}^2}{c^2+b^2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A merőlegesség szükséges és elégséges feltétele az, hogy a skaláris szorzat 0 legyen: $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{CG}\cdot \overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{c^{2}b}{c^2+b^2}\cdot \frac{2c^{2}b+b^3}{c^2+b^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{-c{b}^2-2c^3}{c^2+b^2}\cdot \frac{c{b}^2}{c^2+b^2}=0.}\end{array}$ Ezzel állításunkat beláttuk.