Feladat: B.4870 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csahók Tímea 
Füzet: 2017/szeptember, 350 - 352. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Feuerbach-kör, Konvex négyszögek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2017/április: B.4870

Az ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja az E pont. Igazoljuk, hogy az ABE, BCE, CDE és DAE háromszögek Feuerbach-köreinek középpontjai egy paralelogramma csúcsai, vagy egy egyenesbe esnek.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Mivel egy háromszög Feuerbach-körének középpontja a körülírt köre középpontjának és magasságpontjának a szakaszfelező pontja, így vizsgáljuk meg ezeket a pontokat.
Jelölje az ABE, BCE, CDE, ADE háromszögek körülírt körének középpontját rendre K1, K2, K3, K4 (1. ábra). Mivel egy háromszög körülírt körének középpontja az oldalfelezőinek a metszéspontja, így K1K2K3K4BD és K1K4K2K3AC, így mivel két párhuzamos oldalpárja van K1K2K3K4 paralelogramma.


 

1. ábra
 

Legyenek a fenti háromszögek magasságpontjai rendre M1, M2, M3, M4 (2. ábra). A magasságpont a csúcsokból a szemközti oldalakra állított merőlegesek metszéspontja, így M1M2M3M4AC és M1M4M2M3BD, tehát hasonlóan az előzőhöz M1M2M3M4 is paralelogramma.


 

2. ábra
 

Legyen K1K2=k1, K3K4=k3, M1M2=m1, M3M4=m3. Mivel K1K2K3K4 és M1M2M3M4 paralelogramma, így tudjuk, hogy k1=-k3 és m1=-m3. Mivel K1M1K2M2 négyszögben F1F2 középvonal (3. ábra), ezért tudjuk, hogy
F1F2=f1=k1+m12
Valamint hasonlóan a K3M3K4M4 négyszögben
F3F4=f3=k3+m32=-(k1+m1)2=-f1.



 

3. ábra
 

Tehát f3=-f1, így F1F2F3F4 és egyenlő hosszúak, vagyis F1F2F3F4 valóban paralelogramma, vagy a négy pont egy egyenesre esik. Ezt kellett bizonyítani.