Feladat: B.4837 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beke Csongor 
Füzet: 2017/április, 222 - 223. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú függvények, Feladat, Függvényegyenletek, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2016/december: B.4837

Határozzuk meg az összes f:RR függvényt, amelyre
(x+1)f(x+2)-2(x+2)f(-x-1)=3x2+8x+3.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Ha a tetszőleges valós szám, akkor f(a) értékét csak f(1-a) határozza meg, hiszen (x+2)+(-x-1)=1.
Vegyünk egy tetszőleges y számot. Helyettesítsünk a függvényegyenletbe x=y-t:
(y+1)f(y+2)-2(y+2)f(-y-1)=3y2+8y+3.
Ugyanezzel az y-nal legyen x=-y-3:
(-y-2)f(-y-1)-2(-y-1)f(y+2)=3(-y-3)2+8(-y-3)+3,2(y+1)f(y+2)-(y+2)f(-y-1)=3y2+18y+27-8y-24+3,4(y+1)f(y+2)-2(y+2)f(-y-1)=6y2+20y+12.
Vonjuk ki ebből az első egyenletet:
3(y+1)f(y+2)=3y2+12y+9,
azaz
3(y+1)f(y+2)=3(y+1)(y+3).

Ha y-1, akkor oszthatunk 3(y+1)-gyel:
f(y+2)=y+3.
Azt kaptuk, hogy ha y-1, vagyis x1, akkor f(x)=x+1.
Az f(1) értékét abból kaphatjuk csak meg, ha az eredeti függvényegyenletben x-et -1-nek vagy -2-nek választjuk. Azonban mindkét esetben f(1) együtthatója 0, így értéke nem határozható meg az egyenletből. Tehát
f(x)={x+1,ha  x1,tetszőleges,ha  x=1.