Feladat:	B.4837	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beke Csongor
Füzet:	2017/április, 222 - 223. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú függvények, Feladat, Függvényegyenletek, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/december: B.4837

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha $a$ tetszőleges valós szám, akkor $f\left(a\right)$ értékét csak $f\left(1-a\right)$ határozza meg, hiszen $\left(x+2\right)+\left(-x-1\right)=1$. Vegyünk egy tetszőleges $y$ számot. Helyettesítsünk a függvényegyenletbe $x=y$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(y+1\right)\cdot f\left(y+2\right)-2\left(y+2\right)\cdot f\left(-y-1\right)=3y^2+8y+3.}\end{array}$ Ugyanezzel az $y$-nal legyen $x=-y-3$: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(-y-2\right)\cdot f\left(-y-1\right)-2\left(-y-1\right)\cdot f\left(y+2\right)}& {\displaystyle =3{\left(-y-3\right)}^2+8\left(-y-3\right)+\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2\left(y+1\right)\cdot f\left(y+2\right)-\left(y+2\right)\cdot f\left(-y-1\right)}& {\displaystyle =3y^2+18y+27-8y-24+\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4\left(y+1\right)\cdot f\left(y+2\right)-2\left(y+2\right)\cdot f\left(-y-1\right)}& {\displaystyle =6y^2+20y+12.}\hfill \end{array}}$ Vonjuk ki ebből az első egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\left(y+1\right)\cdot f\left(y+2\right)=3y^2+12y+\mathrm{9,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\left(y+1\right)\cdot f\left(y+2\right)=3\left(y+1\right)\left(y+3\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $y\ne -1$, akkor oszthatunk $3\left(y+1\right)$-gyel: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(y+2\right)=y+3.}\end{array}$ Azt kaptuk, hogy ha $y\ne -1$, vagyis $x\ne 1$, akkor $f\left(x\right)=x+1$. Az $f\left(1\right)$ értékét abból kaphatjuk csak meg, ha az eredeti függvényegyenletben $x$-et $-1$-nek vagy $-2$-nek választjuk. Azonban mindkét esetben $f\left(1\right)$ együtthatója $0$, így értéke nem határozható meg az egyenletből. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x+\mathrm{1,}}& {\displaystyle \text{ha }x\ne \mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{tetszőleges,}}& {\displaystyle \text{ha }x=1.}\hfill \end{array}}}\end{array}$