Feladat: B.4818 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hoffmann Balázs 
Füzet: 2017/április, 218. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Húrnégyszögek, Körülírt kör
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2016/október: B.4818, 1983/május: F.2425, 1981/szeptember: 1981. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Többször használjuk a megoldás során azt a jól ismert tényt, hogy a háromszög egyik oldalának felezőmerőlegese és a szemben lévő szögének belső szögfelezője a körülírt körön metszik egymást.

 
 

Az AB szakasz felezőmerőlegese az F pontban metszi a húrnégyszög körülírt körét, mert az ABC háromszögben oldalfelező merőleges, ami a szemközti csúcsból húzott CF szögfelezőt a háromszög körülírt körén metszi, így ez csak az F pont lehet (a húrnégyszög és az ABC háromszög körülírt köre megegyezik). Ugyanezért az ABD háromszög D-ből induló belső szögfelezője szintén illeszkedik F-re, mert a szemben fekvő oldal itt is AB. Hasonlóan a CAD háromszög A-ból induló szögfelezője, valamint a BDC háromszög B-ből induló szögfelezője is illeszkedik E-re.
Az AMD háromszögben a szögfelezők metszéspontját nevezzük H-nak, az MBC háromszögben pedig J-nek. H és J rajta van a feladatban M-ből húzott szögfelezőn, H rajta van az AE és a DF egyeneseken, J pedig a BE és CF egyenesen, mert a megfelelő szögek egybeesnek a fenti háromszögek megfelelő szögeivel.
Az FCD háromszögben a CD oldal felezőmerőlegese és az F-ből induló szögfelező az E-ben kell, hogy találkozzanak a háromszög körülírt körén, tehát a feladatban említett EF egyenes szögfelezője a DFC szögnek. Ugyanígy belátható, hogy az ABE háromszögben az EF egyenes szögfelezője az AEB szögnek.
Tehát ha az EF egyenesre mint tükörtengelyre tükrözzük az AE egyenest, akkor a BE egyenesbe megy át, továbbá a DF egyenes képe a CF egyenes. Mivel az AE egyenes és a DF egyenes metszéspontja H, valamint a BE és CF egyenes metszéspontja J, ezért H és J egymásnak tükörképei (mert a fenti egyenesek is egymás tükörképei). Ebből következik, hogy az EF tükörtengelyre a H-t J-vel összekötő egyenes, azaz az M-ből a feladatban húzott szögfelező merőleges a tükrözés szabályai miatt. Ezzel az állítást beláttuk.