Feladat: B.4215 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bogár Blanka 
Füzet: 2010/szeptember, 341. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Húrnégyszögek, Külső szög tétel, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: B.4215

Adott a síkon az e egyenes és annak egyik oldalán az A és B pontok. Legyen M az egyenesnek az a pontja, amelyre az AM+MB összeg a legkisebb, N pedig az a pontja, melyre AN=BN. Mutassuk meg, hogy az A, B, M, N pontok egy körön helyezkednek el.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltehetjük, hogy A és B különböző pontok (ellenkező esetben az N pont nem meghatározott, de persze bármely lehetséges helyzetére igaz, hogy a négy pont egy körön helyezkedik el), és azt is, hogy az AB egyenes nem merőleges e-re, ellenkező esetben ugyanis az N pont nem létezik (bár felfogható egy végtelen távoli pontnak, amely az egyenessé fajuló végtelen sugarú ABM körön helyezkedik el). Ha AB párhuzamos e-vel, akkor az M és az N pont egybeesik, ezért az állítás nyilvánvaló. A fennmaradó esetekben, mivel egyik pontnak sincs kitüntetett szerepe, feltehetjük, hogy A közelebb van e-hez, mint B.
Legyen az A pont e-re vonatkozó tükörképe A', az AA' és e egyenesek metszéspontja pedig T. Mivel az e egyenes bármely E pontjára AE+EB=A'E+EB, azért a háromszög-egyenlőtlenség miatt az összeg akkor lesz a lehető legkisebb, ha E az A'B szakaszon helyezkedik el. Vagyis az M pont megegyezik az A'Be ponttal. Az N pont pedig nyilván az AB szakasz felezőmerőlegesének e-vel való metszéspontja.

 
 

Jelölje AB felezőpontját F. Ekkor az ATNF négyszög húrnégyszög, mert T-nél és F-nél lévő szögei derékszögek. Ezért ANT=AFT=α, mert mindkettő az ATNF négyszög köré írt körének rövidebbik AT ívéhez tartozó kerületi szög. Az F és T az AB, illetve AA' szakaszok felezőpontjai, ezért az ATF és AA'B háromszögek hasonlóak, tehát ABA'=AFT=α. Tehát az AM szakasz N-ből és B-ből ugyanakkora szögben látszik. Az A közelebb van e-hez, mint B, ezért AM<AN, vagyis N és B az AM egyenesnek ugyanazon az oldalán helyezkedik el. Tehát N és B az AM szakasz α szöghöz tartozó két látóköríve közül ugyanazon van rajta. Így az AMNB négyszög valóban húrnégyszög.