Megoldás. Feltehetjük, hogy $A$ és $B$ különböző pontok (ellenkező esetben az $N$ pont nem meghatározott, de persze bármely lehetséges helyzetére igaz, hogy a négy pont egy körön helyezkedik el), és azt is, hogy az $AB$ egyenes nem merőleges $e$-re, ellenkező esetben ugyanis az $N$ pont nem létezik (bár felfogható egy végtelen távoli pontnak, amely az egyenessé fajuló végtelen sugarú $ABM$ körön helyezkedik el). Ha $AB$ párhuzamos $e$-vel, akkor az $M$ és az $N$ pont egybeesik, ezért az állítás nyilvánvaló. A fennmaradó esetekben, mivel egyik pontnak sincs kitüntetett szerepe, feltehetjük, hogy $A$ közelebb van $e$-hez, mint $B$.
Legyen az $A$ pont $e$-re vonatkozó tükörképe $A\text{'}$, az $AA\text{'}$ és $e$ egyenesek metszéspontja pedig $T$. Mivel az $e$ egyenes bármely $E$ pontjára $AE+EB=A\text{'}E+EB$, azért a háromszög-egyenlőtlenség miatt az összeg akkor lesz a lehető legkisebb, ha $E$ az $A\text{'}B$ szakaszon helyezkedik el. Vagyis az $M$ pont megegyezik az $A\text{'}B\cap e$ ponttal. Az $N$ pont pedig nyilván az $AB$ szakasz felezőmerőlegesének $e$-vel való metszéspontja.