Feladat: 2010. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Mészáros András 
Füzet: 2010/október, 386. oldal  PDF file
Témakör(ök): Különleges függvények, Egészrész, törtrész függvények
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/szeptember: 2010. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

Határozzuk meg az összes olyan f:RR függvényt, amelyre az f([x]y)=f(x)[f(y)] egyenlőség teljesül minden x,yR-re. (Itt [z] a legnagyobb olyan egész számot jelöli, amely kisebb vagy egyenlő z-nél.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mészáros András megoldása. Az azonosan nulla függvény nyilván megoldás. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor van olyan t, amelyre f(t)0. Ekkor [f(t)] sem lehet 0, hiszen [f(t)]=0-ból az x=1, y=t helyettesítéssel f([1]t)=f(1)[f(t)]=0 következne, ami ellentmondás.
De ekkor y=t mellett x helyébe a-t, illetve [a]-t írva:

f([a]t)=f(a)[f(t)],illetvef([a]t)=f([a])[f(t)].
E kettőt kivonva egymásból: 0=[f(t)](f(a)-f([a])), és ez, mivel [f(t)] nem 0, azt jelenti, hogy minden a-ra f(a)=f([a]).
Ha bebizonyítanánk, hogy van olyan c konstans, amelyre f(n)=c minden egész n-re teljesül, akkor a fenti szerint azt kapnánk, hogy f konstans függvény. Ezt mutatjuk meg.
Legyen x=y=0, ekkor f(0)=f(0)[f(0)], vagyis 0=f(0)(1-[f(0)]). Ez kétféleképpen lehetséges.
1. eset: f(0)=0. Legyen x=2a és y=12, ahol a tetszőleges egész szám. Ekkor
f([2a]12)=f(2a)[f(12)],def(12)=f([12])=f(0)=0,
de f(12)=f([12])=f(0)=0, így f(a)=0, minden a egészre; mint fent láttuk ez azt jelenti, hogy f azonosan 0, tehát ebben az esetben nem találtunk új megoldást.
2. eset: [f(0)]=1. Ekkor az y=0 helyettesítéssel: f([x]0)=f(x)[f(0)], vagyis f(0)=f(x), tehát f konstans: f(x)=c, és [c]=[f(0)]=1.
Ezzel beláttuk, hogy f vagy az azonosan nulla függvény, vagy konstans c, ahol [c]=1. Könnyen látható, hogy ezek a függvények valóban teljesítik is a feladat feltételét.