A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mészáros András megoldása. Az azonosan nulla függvény nyilván megoldás. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor van olyan , amelyre . Ekkor sem lehet 0, hiszen -ból az , helyettesítéssel következne, ami ellentmondás. De ekkor mellett helyébe -t, illetve -t írva: | | E kettőt kivonva egymásból: , és ez, mivel nem 0, azt jelenti, hogy minden -ra . Ha bebizonyítanánk, hogy van olyan konstans, amelyre minden egész -re teljesül, akkor a fenti szerint azt kapnánk, hogy konstans függvény. Ezt mutatjuk meg. Legyen , ekkor , vagyis . Ez kétféleképpen lehetséges. 1. eset: . Legyen és , ahol tetszőleges egész szám. Ekkor | | de , így , minden egészre; mint fent láttuk ez azt jelenti, hogy azonosan 0, tehát ebben az esetben nem találtunk új megoldást. 2. eset: . Ekkor az helyettesítéssel: , vagyis , tehát konstans: , és . Ezzel beláttuk, hogy vagy az azonosan nulla függvény, vagy konstans , ahol . Könnyen látható, hogy ezek a függvények valóban teljesítik is a feladat feltételét. |