Feladat: B.4576 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ratkovics Gábor 
Füzet: 2014/szeptember, 342 - 343. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Magasságpont, Súlypont, Vektorok lineáris kombinációi, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2013/november: B.4576

Adott egy körön hat különböző pont. Kiválasztunk közülük hármat és az ezek által meghatározott háromszög magasságpontját összekötjük a másik három által meghatározott háromszög súlypontjával. Bizonyítsuk be, hogy az összes ilyen módon kapott szakasznak van közös pontja.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Az O középpontból a körvonalon elhelyezkedő A,B,C,...,F pontokba mutató helyvektorok legyenek rendre a,b,c,...,f.
Azt fogjuk megmutatni, hogy a megfelelő súlypontot és magasságpontot összekötő egyenes minden esetben átmegy azon a P ponton, amelynek helyvektora
14(a+b+c+d+e+f).

Válasszuk ki például az ABC és a DEF háromszögeket. Ismert, hogy a köré írt kör középpontjából az ABC háromszög magasságpontjába mutató vektort OM=a+b+c összegként írhatjuk fel. A DEF háromszög súlypontjába mutató vektor pedig OS=d+e+f3. Vegyük most a kör középpontjából a súlypontot és a magasságpontot összekötő szakasz súlyponthoz közelebbi P negyedelő pontjába mutató vektort. Ez a vektor felírható a két végpontba mutató vektor lineáris kombinációjaként:
OP=34OS+14OM=34d+e+f3+14(a+b+c)=14(a+b+c+d+e+f).
A kapott vektor kifejezése teljesen szimmetrikus a pontokba mutató helyvektorokra nézve, tehát a háromszögek választásától függetlenül a P ponton mindegyik ‐ a magasságpontot a súlyponttal összekötő ‐ szakasz áthalad. Azt is beláttuk, hogy ezeket a szakaszokat a közös P pont negyedeli.