Feladat:	B.4576	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ratkovics Gábor
Füzet:	2014/szeptember, 342 - 343. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Magasságpont, Súlypont, Vektorok lineáris kombinációi, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/november: B.4576

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az $O$ középpontból a körvonalon elhelyezkedő $A\mathrm{,}B\mathrm{,}C\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}F$ pontokba mutató helyvektorok legyenek rendre $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">f</span>}$. Azt fogjuk megmutatni, hogy a megfelelő súlypontot és magasságpontot összekötő egyenes minden esetben átmegy azon a $P$ ponton, amelynek helyvektora $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{4}\left(\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">d</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">e</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">f</span>}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Válasszuk ki például az $ABC$ és a $DEF$ háromszögeket. Ismert, hogy a köré írt kör középpontjából az $ABC$ háromszög magasságpontjába mutató vektort $\overrightarrow{OM}=\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}$ összegként írhatjuk fel. A $DEF$ háromszög súlypontjába mutató vektor pedig $\overrightarrow{OS}=\frac{\text{<span style="font-weight: bold;">d</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">e</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">f</span>}}{3}$. Vegyük most a kör középpontjából a súlypontot és a magasságpontot összekötő szakasz súlyponthoz közelebbi $P$ negyedelő pontjába mutató vektort. Ez a vektor felírható a két végpontba mutató vektor lineáris kombinációjaként: $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OS}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OM}=\frac{3}{4}\cdot \frac{\text{<span style="font-weight: bold;">d</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">e</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">f</span>}}{3}+\frac{1}{4}\cdot \left(\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}\right)=\frac{1}{4}\left(\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">d</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">e</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">f</span>}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A kapott vektor kifejezése teljesen szimmetrikus a pontokba mutató helyvektorokra nézve, tehát a háromszögek választásától függetlenül a $P$ ponton mindegyik ‐ a magasságpontot a súlyponttal összekötő ‐ szakasz áthalad. Azt is beláttuk, hogy ezeket a szakaszokat a közös $P$ pont negyedeli.