Feladat: B.4240 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Péter ,  Dudás Zsolt ,  Éles András ,  Janzer Olivér ,  Karkus Zsuzsa ,  Keresztfalvi Tibor ,  Kungl Ákos Ferenc ,  Mészáros András ,  Mihálka Éva Zsuzsanna ,  Milánkovich Dorottya ,  Nagy Balázs ,  Szabó Attila ,  Trauttwein Klaudia ,  Uray Marcell János ,  Varnyú József 
Füzet: 2011/január, 15 - 16. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Térgeometriai bizonyítások, Vektorok skaláris szorzata
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/január: B.4240

Az S1 és S2 síkok metszésvonala m. Az e egyenes az Si síkot az Di pontban döfi, az e és Si szöge pedig αi. Mutassuk meg, hogy ha D1D2, akkor α1>α2 pontosan akkor teljesül, ha D1 közelebb van m-hez mint D2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A D1D2 feltétel azt jelenti, hogy sem D1, sem D2 nem esik az m egyenesre. Legyen a D1 pontból az S2 síkra állított merőleges talppontja D'1, a D'1-ből m-re állított merőleges talppontja pedig M1. Ugyanígy definiáljuk a D'2 és M2 pontokat is, azaz legyen a D2 pontból az S1 síkra állított merőleges talppontja D'2, a D'2-ből m-re állított merőleges talppontja pedig M2.

 
 

Ekkor a D1D'1 egyenes az S2 sík minden egyenesére merőleges. A sík és egyenes hajlásszögének definíciója szerint pedig ha α290, akkor a D2D1D'1 derékszögű háromszög D2-nél lévő szöge éppen α2, azaz D1D'1=D1D2sinα2. Ez utóbbi összefüggés α2=90 esetén is igaz, mert ekkor D'1D2. Az indexeket felcserélve ugyanilyen érveléssel kapjuk, hogy D2D'2=D1D2sinα1.
Mivel m merőleges az egymással nem párhuzamos D'1M1 és D1D'1 egyenesekre, azért merőleges az általuk meghatározott sík minden egyenesére, tehát D1M1-re is. Így D1 és m távolsága D1M1. Mivel a D1M1 egyenes az S1, a D'1M1 egyenes pedig az S2 síkban van, mindkettő átmegy a két sík m metszésvonalának M1 pontján és mindkettő merőleges m-re, ezért a két egyenes hajlásszöge megegyezik a két sík φ hajlásszögével. A D1M1D'1 derékszögű háromszögben D1M1=D1D'1/sinφ. Ez utóbbi összefüggés φ=90 esetén is igaz, mert ekkor D'1M1. Az indexeket felcserélve ugyanilyen érveléssel kapjuk, hogy D2M2=D2D'2/sinφ, és D2 és m távolsága D2M2.
Vagyis
D1M1=D1D2sinα2sinφésD2M2=D1D2sinα1sinφ.
Állításunk bizonyításához ezek szerint azt kell megmutatnunk, hogy α1>α2 pontosan akkor teljesül, ha D2M2>D1M1, azaz ha sinα1>sinα2. Ez viszont nyilván igaz, mert a [0;π/2] intervallumon a szinuszfüggvény szigorúan monoton növekvő.