Kezdőlap


Feladat:	B.4240	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Péter , Dudás Zsolt , Éles András , Janzer Olivér , Karkus Zsuzsa , Keresztfalvi Tibor , Kungl Ákos Ferenc , Mészáros András , Mihálka Éva Zsuzsanna , Milánkovich Dorottya , Nagy Balázs , Szabó Attila , Trauttwein Klaudia , Uray Marcell János , Varnyú József
Füzet:	2011/január, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Térgeometriai bizonyítások, Vektorok skaláris szorzata
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/január: B.4240

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $D_{1} \neq D_{2}$ feltétel azt jelenti, hogy sem $D_{1}$ , sem $D_{2}$ nem esik az $m$ egyenesre. Legyen a $D_{1}$ pontból az $S_{2}$ síkra állított merőleges talppontja $D'_{1}$ , a $D'_{1}$ -ből $m$ -re állított merőleges talppontja pedig $M_{1}$ . Ugyanígy definiáljuk a $D'_{2}$ és $M_{2}$ pontokat is, azaz legyen a $D_{2}$ pontból az $S_{1}$ síkra állított merőleges talppontja $D'_{2}$ , a $D'_{2}$ -ből $m$ -re állított merőleges talppontja pedig $M_{2}$ .

Ekkor a

D_{1} D'_{1}

egyenes az

S_{2}

sík minden egyenesére merőleges. A sík és egyenes hajlásszögének definíciója szerint pedig ha

α_{2} \neq 90^{\circ}

, akkor a

D_{2} D_{1} D'_{1}

derékszögű háromszög

D_{2}

-nél lévő szöge éppen

α_{2}

, azaz

D_{1} D'_{1} = D_{1} D_{2} sin α_{2}

. Ez utóbbi összefüggés

α_{2} = 90^{\circ}

esetén is igaz, mert ekkor

D'_{1} \equiv D_{2}

. Az indexeket felcserélve ugyanilyen érveléssel kapjuk, hogy

D_{2} D'_{2} = D_{1} D_{2} sin α_{1}

.
Mivel

m

merőleges az egymással nem párhuzamos

D'_{1} M_{1}

és

D_{1} D'_{1}

egyenesekre, azért merőleges az általuk meghatározott sík minden egyenesére, tehát

D_{1} M_{1}

-re is. Így

D_{1}

és

m

távolsága

D_{1} M_{1}

. Mivel a

D_{1} M_{1}

egyenes az

S_{1}

, a

D'_{1} M_{1}

egyenes pedig az

S_{2}

síkban van, mindkettő átmegy a két sík

m

metszésvonalának

M_{1}

pontján és mindkettő merőleges

m

-re, ezért a két egyenes hajlásszöge megegyezik a két sík

φ

hajlásszögével. A

D_{1} M_{1} D'_{1}

derékszögű háromszögben

D_{1} M_{1} = D_{1} D'_{1} / sin φ

. Ez utóbbi összefüggés

φ = 90^{\circ}

esetén is igaz, mert ekkor

D'_{1} \equiv M_{1}

. Az indexeket felcserélve ugyanilyen érveléssel kapjuk, hogy

D_{2} M_{2} = D_{2} D'_{2} / sin φ

, és

D_{2}

és

m

távolsága

D_{2} M_{2}

.
Vagyis

\begin{matrix} D_{1} M_{1} = \frac{D_{1} D_{2} \cdot sin α_{2}}{sin φ} és D_{2} M_{2} = \frac{D_{1} D_{2} \cdot sin α_{1}}{sin φ} . \end{matrix}

Állításunk bizonyításához ezek szerint azt kell megmutatnunk, hogy

α_{1} > α_{2}

pontosan akkor teljesül, ha

D_{2} M_{2} > D_{1} M_{1}

, azaz ha

sin α_{1} > sin α_{2}

. Ez viszont nyilván igaz, mert a

[0; π / 2]

intervallumon a szinuszfüggvény szigorúan monoton növekvő.