Feladat: B.4482 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Venczel Tünde 
Füzet: 2013/szeptember, 344 - 345. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Logikai feladatok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2012/november: B.4482

Gumiországban csak a tízezernél kisebb természetes számokat ismerik. Ezek leírását rugalmasan oldják meg. A ,,gumiszámok'' leírásának alapszabálya, hogy minden számot a lehető legkisebb alapszámú számrendszerben írnak le úgy, hogy a leírt szám legfeljebb négyjegyű legyen. Sajnos az így leírt számok nem mindig dekódolhatók egyértelműen; a négyjegyű 1101 gumiszám például egyszerre jelenti a 13-at és a 37-et. Van-e olyan háromjegyű gumiszám, ami egyszerre több természetes számot is jelent?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Egy adott számrendszerben azokat a számokat írják le Gumiországban, amelyek túl nagyok ahhoz, hogy eggyel kisebb számrendszerben le lehessen őket írni legfeljebb négy számjeggyel, de ebben a számrendszerben elég a leírásukhoz négy számjegy. Tehát n alapú számrendszerben azokat az x egész számokat írják, amelyekre (n-1)4-1<x<n4 teljesül, azaz (mivel 1-es számrendszer nincs, és 10-essel már le lehet írni minden gumiszámot), az adott alapú számrendszerek a következő számokat írják le:
12-es: 0‐15;
13-as: 16‐80;
14-es: 81‐255;
15-ös: 256‐624;
16-os: 625‐1295;
17-es: 1296‐2400;
18-as: 2401‐4095;
19-es: 4096‐6560;
10-es: 6561‐9999.
Háromjegyű gumiszámok egy adott, n alapú számrendszerben csak olyanok lehetnek,
 
amelyek értéke legalább n2, nagyobbak mint (n-1)4-1, és kisebbek n3-nál. (n-1)4 hamar nagyobb lesz n2-nél, de ezután nem sokkal (n3-1)-nél is, tehát nincs sok háromjegyű gumiszám. Nézzük meg, milyen számokat írunk az adott alapú számrendszerekben háromjegyű gumiszámmal:
2-es: 4‐7;
3-as: 16‐26.
Az n=4-re már 81>63, tehát már négyes számrendszerű háromjegyű gumiszám sincs. Csak azt kell tehát vizsgálnunk, hogy van-e azonos felírású a maréknyi 2-es alapú és néhány 3-as alapú közt. Egyszerűen írjuk fel a kettes alapúakat, és nézzük meg, van-e olyan a hármas alapúak közt.
4=1002;
5=1012;
6=1102;
7=1112.
Ezek hármas számrendszerben:
1003=9;
1013=10;
1103=12;
1113=13.
Egyikük sem esik 16 és 26 közé, így ezek nem gumiszámok hármas számrendszerben. Nincs tehát olyan háromjegyű gumiszám, ami több értéket is viselne.