Kezdőlap


Feladat:	B.4482	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Venczel Tünde
Füzet:	2013/szeptember, 344 - 345. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Logikai feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/november: B.4482

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy adott számrendszerben azokat a számokat írják le Gumiországban, amelyek túl nagyok ahhoz, hogy eggyel kisebb számrendszerben le lehessen őket írni legfeljebb négy számjeggyel, de ebben a számrendszerben elég a leírásukhoz négy számjegy. Tehát

n

alapú számrendszerben azokat az

x

egész számokat írják, amelyekre

{(n - 1)}^{4} - 1 < x < n^{4}

teljesül, azaz (mivel 1-es számrendszer nincs, és 10-essel már le lehet írni minden gumiszámot), az adott alapú számrendszerek a következő számokat írják le:

2-es: 0‐15;

3-as: 16‐80;

4-es: 81‐255;

5-ös: 256‐624;

6-os: 625‐1295;

7-es: 1296‐2400;

8-as: 2401‐4095;

9-es: 4096‐6560;
10-es: 6561‐9999.
Háromjegyű gumiszámok egy adott,

n

alapú számrendszerben csak olyanok lehetnek,

amelyek értéke legalább

n^{2}

, nagyobbak mint

{(n - 1)}^{4} - 1

, és kisebbek

n^{3}

-nál.

{(n - 1)}^{4}

hamar nagyobb lesz

n^{2}

-nél, de ezután nem sokkal

(n^{3} - 1)

-nél is, tehát nincs sok háromjegyű gumiszám. Nézzük meg, milyen számokat írunk az adott alapú számrendszerekben háromjegyű gumiszámmal:
2-es: 4‐7;
3-as: 16‐26.
Az

n = 4

-re már

81 > 63

, tehát már négyes számrendszerű háromjegyű gumiszám sincs. Csak azt kell tehát vizsgálnunk, hogy van-e azonos felírású a maréknyi 2-es alapú és néhány 3-as alapú közt. Egyszerűen írjuk fel a kettes alapúakat, és nézzük meg, van-e olyan a hármas alapúak közt.

4 = 100_{2}

;

5 = 101_{2}

;

6 = 110_{2}

;

7 = 111_{2}

.
Ezek hármas számrendszerben:

100_{3} = 9

;

101_{3} = 10

;

110_{3} = 12

;

111_{3} = 13

.
Egyikük sem esik 16 és 26 közé, így ezek nem gumiszámok hármas számrendszerben. Nincs tehát olyan háromjegyű gumiszám, ami több értéket is viselne.