Feladat: B.4307 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Mihálykó András 
Füzet: 2011/november, 475 - 476. oldal  PDF file
Témakör(ök): Terület, felszín, Síkgeometriai bizonyítások, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/november: B.4307

Adott az ABC háromszög két oldalán két-két pont. Bizonyítsuk be, hogy a négy pont által alkotott négy háromszög közül legalább egynek a területe nem nagyobb az ABC háromszög területének a negyedénél.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög területe legyen egységnyi, a négy pontot pedig jelölje P, Q, R, S az ábra szerint.

 
 

Legyen továbbá CP=pAC, QC=qAC, 0<p<q<1 és CR=rBC, CS=sBC, 0<r<s<1. Ekkor PQ=xAC és RS==yBC, ahol 0<x=q-p<1-p, valamint 0<y=s-r<1-r.
A PQR háromszög területe (mivel ABC területét egységnyinek választottuk):
TPQR=TQRC-TPRC=12qACrBCsinγ-12pACrBCsinγ=
 
=(qr-pr)12ACBCsinγ=(q-p)r<(1-p)r.

Hasonlóan kapjuk az RSP háromszög területére
TRSP=TSPC-TPRC=12sBCpACsinγ-12pACrBCsinγ=
 
=(sp-rp)12ACBCsinγ=(s-r)p<(1-r)p.


Elegendő megmutatni, hogy valamelyik nem nagyobb 1/4-nél. Ha mindkettő nagyobb lenne, mint 1/4, akkor négyzetgyökvonás után a számtani-mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség alkalmazásával
1=12+12<(1-p)r+(1-r)p
 
1-p+r2+1-r+p2=2-p+r-r+p2=1.

Ellentmondásra jutottunk, tehát legalább az egyik terület biztosan nem nagyobb, mint 1/4. Ha a P és R pontokat az AC, illetve a BC oldalak felezőpontjának választjuk, továbbá QA és SB, akkor látható az is, hogy a feladat állítása nem javítható.