Adott az háromszög két oldalán két-két pont. Bizonyítsuk be, hogy a négy pont által alkotott négy háromszög közül legalább egynek a területe nem nagyobb az háromszög területének a negyedénél.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A háromszög területe legyen egységnyi, a négy pontot pedig jelölje , , , az ábra szerint.
Legyen továbbá , , és , , . Ekkor és , ahol , valamint . A háromszög területe (mivel területét egységnyinek választottuk): Hasonlóan kapjuk az háromszög területére
Elegendő megmutatni, hogy valamelyik nem nagyobb -nél. Ha mindkettő nagyobb lenne, mint , akkor négyzetgyökvonás után a számtani-mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség alkalmazásával Ellentmondásra jutottunk, tehát legalább az egyik terület biztosan nem nagyobb, mint . Ha a és pontokat az , illetve a oldalak felezőpontjának választjuk, továbbá és , akkor látható az is, hogy a feladat állítása nem javítható.
|
|