Feladat: B.4229 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bogár Blanka 
Füzet: 2010/május, 286. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Húrnégyszögek, Körülírt kör, Koszinusztétel alkalmazása
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/december: B.4229

Az ABCD parallelogrammában 2BD2=BA2+BC2. Mutassuk meg, hogy a BCD háromszög köré írt kör átmegy az AC átló egyik harmadolópontján.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva az AC átló A-hoz közelebbi harmadolópontja legyen H, a paralelogramma oldalai a és b, átlói e és f.

 
 

Alkalmazzuk az ismert azonosságot, mely szerint a paralelogrammában az oldalak négyzetösszege egyenlő az átlók négyzetösszegével:
2a2+2b2=e2+f2.
A feladat feltétele pedig: 2f2=a2+b2, azaz 4f2=2a2+2b2. Ezt behelyettesítve az előző egyenletbe: 4f2=e2+f2, vagyis 3f2=e2. Alakítsuk át ezt az összefüggést:
f24=e212f2e6=e2f2.

Mivel f2=OD, e2=OA és e6=OH, azért
ODOH=OAOD.

Látható, hogy DOH=DOA, ezért ODHOAD, mert két oldaluk aránya és a közbezárt szög megegyezik. Ebből következik, hogy harmadik szögük is megegyezik: ADO=DHO.
Nyilván ADO=DBC, így DHO=DBC. Tehát a DC oldal a H és B pontokból ugyanakkora szög alatt látszik, így a H pontnak rajta kell lennie a DBC köré írt körén. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.