Feladat: B.4096 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Éles András ,  Hursán Zsófia ,  Huszár Kristóf ,  Lovas Lia Izabella ,  Márki Róbert ,  Márkus Bence ,  Perjési Gábor ,  Varga László ,  Zieger Milán 
Füzet: 2009/január, 30 - 31. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Beírt kör, Középponti és kerületi szögek, Hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/május: B.4096

Az ABC háromszög oldalainak a beírt kört érintő pontjai legyenek E, F és G. A beírt kör egy tetszőleges P pontjának a háromszög oldalegyeneseitől mért távolsága a, b és c, az FG, EG és EF egyenesektől mért távolsága pedig e, f és g. Igazoljuk, hogy abc=efg.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Elegendő belátnunk, hogy g=ab, amiből már hasonlóan következik, hogy e=bc és f=ac, és ezek szorzatából következik az állítás: abc=efg.

 
 

1. ábra
 

Legyenek a b, g, a távolságok talppontjai (2. ábra) Q, R és S. Azt fogjuk belátni, hogy a PQR és a PRS háromszögek hasonlóak. Ebből már következik az előbbi állítás.
 
 

2. ábra
 

A PQFR és a PRES négyszögek húrnégyszögek, mert két szemközti szögük derékszög. A köréjük írt körök legyenek k1 és k2, a beírt kört pedig jelöljük k-val. A PRQ=PFQ, mert a k1 körben a PQ húrhoz tartozó kerületi szögek. A PFQ a k körben a PF húrhoz tartozó érintő szárú kerületi szög, így egyenlő a FEP kerületi szöggel. Ez utóbbi szög egyben a k2 körben a PR húrhoz tartozó REP kerületi szög, így megegyezik az RSP szöggel. Tehát PRQ=RSP.
Hasonlóan belátható, hogy az ábrán kétívessel jelölt szögek is egyenlőek: a k1 körben PQR=PFR, mivel a PR húrhoz tartozó kerületi szögek, a k körben PFR=PES, mert a PE húrhoz tartozó kerületi, illetve érintő szárú kerületi szögek, és a k2 körben PES=PRS, mivel a PS húrhoz tartozó kerületi szögek. Tehát PQR=PRS. Ebből már következik, hogy a PQR és a PRS háromszögek hasonlóak, tehát
PQPR=PRPS,vagyisbg=ga,amibőlg=ab.