Kezdőlap


Feladat:	B.4096	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Éles András , Hursán Zsófia , Huszár Kristóf , Lovas Lia Izabella , Márki Róbert , Márkus Bence , Perjési Gábor , Varga László , Zieger Milán
Füzet:	2009/január, 30 - 31. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Beírt kör, Középponti és kerületi szögek, Hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: B.4096

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Elegendő belátnunk, hogy $g = \sqrt[]{a b}$ , amiből már hasonlóan következik, hogy $e = \sqrt[]{b c}$ és $f = \sqrt[]{a c}$ , és ezek szorzatából következik az állítás: $a \cdot b \cdot c = e \cdot f \cdot g$ .

1. ábra

Legyenek a

b

g

a

távolságok talppontjai (2. ábra)

Q

R

és

S

. Azt fogjuk belátni, hogy a

P Q R

és a

P R S

háromszögek hasonlóak. Ebből már következik az előbbi állítás.

2. ábra

P Q F R

és a

P R E S

négyszögek húrnégyszögek, mert két szemközti szögük derékszög. A köréjük írt körök legyenek

k_{1}

és

k_{2}

, a beírt kört pedig jelöljük

k

-val. A

P R Q ∢ = P F Q ∢

, mert a

k_{1}

körben a

P Q

húrhoz tartozó kerületi szögek. A

P F Q ∢

k

körben a

P F

húrhoz tartozó érintő szárú kerületi szög, így egyenlő a

F E P

kerületi szöggel. Ez utóbbi szög egyben a

k_{2}

körben a

P R

húrhoz tartozó

R E P

kerületi szög, így megegyezik az

R S P

szöggel. Tehát

P R Q ∢ = R S P ∢

.
Hasonlóan belátható, hogy az ábrán kétívessel jelölt szögek is egyenlőek: a

k_{1}

körben

P Q R ∢ = P F R ∢

, mivel a

P R

húrhoz tartozó kerületi szögek, a

k

körben

P F R ∢ = P E S ∢

, mert a

P E

húrhoz tartozó kerületi, illetve érintő szárú kerületi szögek, és a

k_{2}

körben

P E S ∢ = P R S ∢

, mivel a

P S

húrhoz tartozó kerületi szögek. Tehát

P Q R ∢ = P R S ∢

. Ebből már következik, hogy a

P Q R

és a

P R S

háromszögek hasonlóak, tehát

\begin{matrix} \frac{P Q}{P R} = \frac{P R}{P S}, vagyis \frac{b}{g} = \frac{g}{a}, amiből g = \sqrt[]{a b} . \end{matrix}