Feladat: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 12. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2008/november, 492 - 494. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb elektromágneses hullám, Egyéb relativitáselmélet
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/október: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 12. feladata

2. feladat. Cserenkov-sugárzás és gyűrűs képalkotáson alapuló számláló
A fény vákuumban c sebességgel terjed. Semmiféle részecske nem mozoghat ennél a c sebességnél gyorsabban. Azonban lehetséges, hogy valamely átlátszó közegben mozgó részecske v sebessége nagyobb, mint a közegbeli cn fénysebesség, ahol n a közeg (abszolút) törésmutatója. Kísérletileg 1934-ben P. A. Cserenkov észlelte, majd elméletileg 1937-ben I. J. Tamm és I. M. Frank bizonyította, hogy ha egy töltött részecske n törésmutatójú átlátszó közegben v sebességgel mozog, és teljesül, hogy v>cn, akkor a részecske fényt bocsát ki; ez az úgynevezett Cserenkov-sugárzás.
 
 

A sugárzás iránya a részecske pályájával
ϑ=arccos1βn(1)
szöget zár be, ahol β=vc.
 
1. A fenti tény megállapítása céljából tekintsünk egy részecskét, mely egyenes pályán állandó v>cn sebességgel mozog. A t=0 időpontban a részecske az A pontban van, míg a t1 pillanatban a B pontban. Mivel a probléma az AB tengelyre nézve forgásszimmetrikus, elegendő csupán egyetlen olyan síkban vizsgálni a fény terjedését, amely tartalmazza az AB tengelyt.
Bármely A és B közti C pontban a részecske gömbhullámokat bocsát ki, melyek cn sebességgel terjednek. A hullámfront egy adott t időpillanatban a burkolója (közös érintő görbéje) ezeknek a gömbhullámoknak.
1.1. Határozd meg a hullámfrontot egy t1 időpillanatban, és rajzold be a hullámfrontnak egy, a részecske pályáját tartalmazó síkkal való metszetét!
1.2. Fejezd ki a hullámfront metszete és a részecske pályája között mérhető φ szöget n és β segítségével!
 
2. Tekintsük v>cn sebességgel mozgó részecskék nyalábját, melyre teljesül, hogy a nyaláb IS egyenese és a sugárzás kúpja közti ϑ szög kicsi. (Lásd az ábrát!) A nyaláb útjában, az S pontban egy C középpontú, f fókusztávolságú homorú gömbtükör helyezkedik el úgy, hogy az SC és az SI egyenesek közti α szög szintén kicsiny. A tükörről visszavert fény a tükör fókuszsíkjában gyűrű alakú képet alkot. Igazold ezt az állítást egy vázlatos ábra segítségével! Add meg a gyűrű r sugarát és középpontjának O helyét!
 
 

Az itt ismertetett elrendezést a gyűrűs képalkotáson alapuló Cserenkov-számlálókban (Ring Imaging Cherenkov Counter, RICH) használják, és azt a közeget, amiben a részecskék haladnak, sugárzó közegnek nevezik.
Megjegyzés: Ennek a feladatnak minden kérdésében az α és ϑ szögben másod- vagy ennél magasabb rendű tagokat hanyagoljuk el.
 
3. Egy ismert, p=10,0 GeV/c impulzusú részecskéket tartalmazó nyaláb háromféle különböző részecskét tartalmaz: protont, kaont és piont, melyek nyugalmi tömege rendre Mp=0,94GeV/c2, Mκ=0,50GeV/c2 és Mπ=0,14GeV/c2. Emlékeztetünk rá, hogy mind pc, mind pedig Mc2 energia dimenziójú mennyiség, és 1 eV az az energia, amelyre egy elektron 1 V feszültséggel való gyorsítás hatására tesz szert. További mértékegységek: 1 GeV =  109 eV, valamint 1 MeV =  106 eV.
A részecskenyaláb P nyomású levegőn, mint sugárzó közegen halad át. A levegő n törésmutatója a következő módon függ (az atmoszférákban mért) P nyomástól:
n=1+aP,ahola=2,710-4atm-1.  

3.1. Határozd meg mindhárom részecsketípus esetén azt a minimális Pmin levegőnyomást, amely fölött a Cserenkov-sugárzás kialakulhat.
3.2. Határozd meg azt a P12 nyomást, amely mellett a kaonokhoz tartozó gyűrű sugara éppen fele a pionokhoz tartozó gyűrű sugarának! Számold ki ebben az esetben a ϑκ és ϑπ szögeket is!
Ezen a nyomáson megfigyelhető-e a protonokhoz tartozó gyűrű?
 
4. Most tegyük fel, hogy a részecskenyaláb nem teljesen monokromatikus; a részecskék impulzusa egy 10 GeV/c körül koncentrált, Δp félértékszélességű eloszlást alkot. Ennek következtében a gyűrűk kiszélesednek, és a ϑ szög eloszlásának félértékszélessége Δϑ. A sugárzó közeg (levegő) nyomása a 3.2. pontban meghatározott P12 érték.
4.1. Határozd meg ΔϑκΔp és ΔϑπΔp-t, azaz a ΔϑΔp hányados értékét kaon és pion esetén!
4.2. Amennyiben a két gyűrű közti ϑπ-ϑκ szögeltérés nagyobb, mint a félértékszélességek Δϑ=Δϑκ+Δϑπ összegének 10-szerese, tehát ha ϑπ-ϑκ>10Δϑ, akkor a két gyűrűt jól el lehet különíteni egymástól. Határozd meg azt a maximális Δp értéket, amely mellett a két gyűrű még jól elkülöníthető!
 
5. Cserenkov a nevéről elnevezett jelenséget először egy vízzel telt palackban figyelte meg, mely radioaktív forrás közelében helyezkedett el. Szemével érzékelte, hogy a palackban levő víz fényt bocsát ki.
5.1. Határozd meg azt a Tmin minimális mozgási energiát, amely mellett egy M nyugalmi tömegű, vízben haladó részecske Cserenkov-sugárzást bocsát ki! A víz törésmutatója n=1,33.
5.2. Tudjuk, hogy a Cserenkov által használt sugárforrás vagy Mα=3,8GeV/c2 nyugalmi tömegű α-részecskéket (azaz hélium atommagokat) vagy Me=0,51MeV/c2 nyugalmi tömegű β-részecskéket (azaz elektronokat) bocsát ki. Határozd meg Tmin számszerű értékét α- és β-részecskék esetén!
Felhasználva, hogy radioaktív sugárforrások által kibocsátott részecskék mozgási energája soha nem halad meg néhány MeV-ot, döntsd el, hogy melyik részecske hozta létre a Cserenkov által először megfigyelt sugárzást!
 
6. Az előző kérdésekben a Cserenkov-effektusnak a kibocsátott fény hullámhosszától való függését nem vettük figyelembe. Most tekintetbe vesszük azt a tényt, hogy a Cserenkov-sugárzásnak széles folytonos spektruma van, mely tartalmazza a látható (0,4 μm-től 0,8 μm-es hullámhosszig terjedő) tartományt is. Azt is tudjuk, hogy a látható fény tartományában a λ hullámhossz növelésével a sugárzó közeg n törésmutatója lineárisan csökken (n-1)-nek 2%-ával.
6.1. Tekintsünk egy pontosan 10,0GeV/c impulzusú pionokból álló nyalábot, amely 6 atm nyomású levegőben halad. Határozd meg a látható tartomány két végpontjához tartozó δϑ szögeltérést!
6.2. Az előző eredmény alapján tanulmányozd kvalitatíven (nem számszerűen) a diszperzió hatását egy olyan pion-nyaláb által létrehozott gyűrűs képen, melyben a részecskék impulzusa a p=10GeV/c érték körül Δp=0,3GeV/c félérték-szélességgel oszlik el.
6.2.1. Határozd meg a gyűrűnek a diszperzió (azaz a törésmutató hullámhossz függése miatt bekövetkező) kiszélesedését, valamint a gyűrűnek a nyalábot alkotó részecskék impulzus-inhomogenitásából fakadó kiszélesedését!
6.2.2. Hogyan változik a gyűrű színe, miközben a gyűrű belső élétől a külső él felé haladunk!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mialatt a részecske t idő alatt a C pontból s=vt=tβc utat megtéve a B pontba ér, a C pontban kibocsátott fény egy R=tcn sugarú gömböt ér el.
Így a hullámfront a B-ből a gömbhöz húzott érintő kúp, amely

φ=arcsinRs=arcsin1βn
szöget zár be a részecske pályájával.
 

 
4. ábra. A hullámfront szerkesztése
 

Adott irányból párhuzamosan érkező fénysugarakat a homorú gömbtükör a fókuszsíkba képzi. A kép pontos helyét a tükör C geometriai középpontján áthaladó sugármenet metszi ki, amely visszaverődés után szintén keresztülhalad C-n.
Az 5. ábrán felrajzoltuk az optikai tengelyhez képest α, α+ϑ és α-ϑ szögben haladó C-n átmenő fénysugarakat, melyek a fókuszsíkot az O, M és N pontban metszik. A tükör által alkotott kép (kis α, ϑ szögek esetén) egy r=OM=ON=fϑ sugarú kör, melynek O középpontja OF=fα távolságra esik az F fókuszponttól.
 

 
5. ábra. A gyűrűs kép létrejötte
 

3.1. A p=Mv1-β2 (relativisztikus) impulzus képletéből az M nyugalmi tömeg ismeretében kifejezhető a részecskék β=vc dimenziótlan sebessége:
β=(1+(Mc2pc)2)-121-δ,aholδ=12(Mc2pc)2.(1)
Az utolsó közelítés akkor érvényes, ha δ1. Ez esetünkben jó közelítéssel fennáll mindhárom részecskére:
δp=4,4210-3,δκ=1,2510-3,δπ=9,810-5.(2)

A Cserenkov-effektus akkor lép fel, ha a részecske v sebessége nagyobb a közegbeli cn fénysebességnél, ahol n a törésmutatót jelöli. Határesetben v=cnmin, tehát a minimális törésmutató, amely mellett megfigyelhető a Cserenkov-effektus:
nmin=1β=1+(Mc2pc)21+δ.
A törésmutató ismeretében a kritikus nyomás Pmin=nmin-1a=δa. A számszerű eredmények:
Pmin, proton=16atm,Pmin, kaon=4,6atm,Pmin, pion=0,36atm.

3.2. A gyűrűk sugara r=fϑ, ahol a sugárzási kúp ϑ félnyílásszögére a 4. ábra alapján a cosϑ=1nβ egyenlőség teljesül. Most azt az n12 törésmutatót keressük, amely mellett 2rκ=rπ, azaz 2ϑκ=ϑπ. Ezek felhasználásával
1n12βπ=cosϑπ=cos(2ϑκ)=2cos2ϑκ-1=2n122βκ2-1.
Az egyenlőségsor első és utolsó eleme a
βπβκ2n122+βκ2n12-2βπ=0(3)
másodfokú egyenletet adja a keresett n12 törésmutatóra, mely egyszerűen linearizálható, ha észrevesszük, hogy mind n12, mind βπ és βκ nagyon kicsit tér el 1-től:
βπ1-δπ,βκ1-δκ,n12=1+η.(4)
Ezeket a közelítéseket (3)-ba beírva, és csak az elsőrendű tagokat tartva meg, az adódik, hogy:
η=4δκ-δπ3=1,63410-3ésP12=ηa=6,05atm.

Ezen a nyomáson a protonok nem keltenek Cserenkov-sugárzást. A törésmutató ismeretében meghatározható a kaonok és pionok által keltett sugárzási kúp félnyílásszöge:
ϑκ=arccos(1n12βκ)2(η-δκ)=2,7710-2rad=1,6,(5)ϑπ=2ϑκ=5,5410-2rad=3,2.
(Ismert, hogy x1 esetén cosx1-x22. Innen arccos(1-y)2y, ahol y=x221. A közelítésnél ezt az összefüggést, valamint a (4) egyenleteket használtuk fel.)
4.1. Az (1) és (5) egyenletek alapján a ϑ félnyílásszög a p impulzus függvényében
ϑ(p)2η-(Mc2pc)2,ígydϑdp(Mc2)2ϑ(pc)3c.(6)
A számértékek behelyettesítése után azt kapjuk, hogy:
dϑκdp=9,0310-3cGeV=0,52cGeV,dϑπdp=3,5410-4cGeV=0,02cGeV.(7)
(A részecskefizikában az impulzus megadására gyakran használják az elektronvoltfénysebesség mértékegységet.)
4.2. A feltételekből az impulzus bizonytalansága:
Δp<ϑπ-ϑκ10(ϑ'κ+ϑ'π)=0,3GeVc.

5. Adott n törésmutatójú közegben Cserenkov-sugárzás a vmin=cn sebesség fölött észlelhető. Ennél a sebességnél a mozgási energia:
Tmin=Mc21-vmin2c2-Mc2=Mc2(nn2-1-1)=0,51Mc2.
α-részecskékre, illetve elektronokra ezek az értékek
Tα=0,513,8GeV=1,94GeV,Tβ=0,510,51MeV=0,26MeV,
ami azt jelenti, hogy elektronok hozták létre a Cserenkov által észlelt sugárzást.
6.1. P nyomáson η=n-1=aP, tehát a látható tartomány két végpontjához tartozó törésmutatók eltérése Δn=Δη=0,02aP=3,2410-5. A keresett Δϑ szögeltérés a (6) egyenletben felírt ϑ szög η változó szerinti differenciálásával kapható meg:
Δϑπ=dϑπ(η)dηΔη=Δηϑπ=0,033.

6.2. Az előző pontban láttuk, hogy a diszperzió miatti kiszélesedés félértékszélessége Δϑπ2=0,017. A (7) egyenlet alapján az impulzus-inhomogenitás miatti kiszélesedés
0,02cGeV0,3GeVc=0,006,
ami háromszor kisebb a diszperzióhoz tartozó kiszélesedésnél. Kisebb hullámhosszon a törésmutató nagyobb, tehát a Cserenkov-kúp nyílásszöge szélesebb. Ez azt jelenti, hogy a gyűrű színe kívül kékes, középen fehér, belül pedig vöröses.