Feladat: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 12. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2008/október, 427 - 429. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb elektromágneses hullám, Egyéb relativitáselmélet
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2008/november: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2. feladat. Cserenkov-sugárzás és gyűrűs képalkotáson alapuló számláló
A fény vákuumban c sebességgel terjed. Semmiféle részecske nem mozoghat ennél a c sebességnél gyorsabban. Azonban lehetséges, hogy valamely átlátszó közegben mozgó részecske v sebessége nagyobb, mint a közegbeli cn fénysebesség, ahol n a közeg (abszolút) törésmutatója. Kísérletileg 1934-ben P. A. Cserenkov észlelte, majd elméletileg 1937-ben I. J. Tamm és I. M. Frank bizonyította, hogy ha egy töltött részecske n törésmutatójú átlátszó közegben v sebességgel mozog, és teljesül, hogy v>cn, akkor a részecske fényt bocsát ki; ez az úgynevezett Cserenkov-sugárzás.

 
 

A sugárzás iránya a részecske pályájával
ϑ=arccos1βn(1)
szöget zár be, ahol β=vc.
 
1. A fenti tény megállapítása céljából tekintsünk egy részecskét, mely egyenes pályán állandó v>cn sebességgel mozog. A t=0 időpontban a részecske az A pontban van, míg a t1 pillanatban a B pontban. Mivel a probléma az AB tengelyre nézve forgásszimmetrikus, elegendő csupán egyetlen olyan síkban vizsgálni a fény terjedését, amely tartalmazza az AB tengelyt.
Bármely A és B közti C pontban a részecske gömbhullámokat bocsát ki, melyek cn sebességgel terjednek. A hullámfront egy adott t időpillanatban a burkolója (közös érintő görbéje) ezeknek a gömbhullámoknak.
1.1. Határozd meg a hullámfrontot egy t1 időpillanatban, és rajzold be a hullámfrontnak egy, a részecske pályáját tartalmazó síkkal való metszetét!
1.2. Fejezd ki a hullámfront metszete és a részecske pályája között mérhető φ szöget n és β segítségével!
 
2. Tekintsük v>cn sebességgel mozgó részecskék nyalábját, melyre teljesül, hogy a nyaláb IS egyenese és a sugárzás kúpja közti ϑ szög kicsi. (Lásd az ábrát!) A nyaláb útjában, az S pontban egy C középpontú, f fókusztávolságú homorú gömbtükör helyezkedik el úgy, hogy az SC és az SI egyenesek közti α szög szintén kicsiny. A tükörről visszavert fény a tükör fókuszsíkjában gyűrű alakú képet alkot. Igazold ezt az állítást egy vázlatos ábra segítségével! Add meg a gyűrű r sugarát és középpontjának O helyét!
 
 

Az itt ismertetett elrendezést a gyűrűs képalkotáson alapuló Cserenkov-számlálókban (Ring Imaging Cherenkov Counter, RICH) használják, és azt a közeget, amiben a részecskék haladnak, sugárzó közegnek nevezik.
Megjegyzés: Ennek a feladatnak minden kérdésében az α és ϑ szögben másod- vagy ennél magasabb rendű tagokat hanyagoljuk el.
 
3. Egy ismert, p=10,0 GeV/c impulzusú részecskéket tartalmazó nyaláb háromféle különböző részecskét tartalmaz: protont, kaont és piont, melyek nyugalmi tömege rendre Mp=0,94GeV/c2, Mκ=0,50GeV/c2 és Mπ=0,14GeV/c2. Emlékeztetünk rá, hogy mind pc, mind pedig Mc2 energia dimenziójú mennyiség, és 1 eV az az energia, amelyre egy elektron 1 V feszültséggel való gyorsítás hatására tesz szert. További mértékegységek: 1 GeV =  109 eV, valamint 1 MeV =  106 eV.
A részecskenyaláb P nyomású levegőn, mint sugárzó közegen halad át. A levegő n törésmutatója a következő módon függ (az atmoszférákban mért) P nyomástól:
n=1+aP,ahola=2,710-4atm-1.  

3.1. Határozd meg mindhárom részecsketípus esetén azt a minimális Pmin levegőnyomást, amely fölött a Cserenkov-sugárzás kialakulhat.
3.2. Határozd meg azt a P12 nyomást, amely mellett a kaonokhoz tartozó gyűrű sugara éppen fele a pionokhoz tartozó gyűrű sugarának! Számold ki ebben az esetben a ϑκ és ϑπ szögeket is!
Ezen a nyomáson megfigyelhető-e a protonokhoz tartozó gyűrű?
 
4. Most tegyük fel, hogy a részecskenyaláb nem teljesen monokromatikus; a részecskék impulzusa egy 10 GeV/c körül koncentrált, Δp félértékszélességű eloszlást alkot. Ennek következtében a gyűrűk kiszélesednek, és a ϑ szög eloszlásának félértékszélessége Δϑ. A sugárzó közeg (levegő) nyomása a 3.2. pontban meghatározott P12 érték.
4.1. Határozd meg ΔϑκΔp és ΔϑπΔp-t, azaz a ΔϑΔp hányados értékét kaon és pion esetén!
4.2. Amennyiben a két gyűrű közti ϑπ-ϑκ szögeltérés nagyobb, mint a félértékszélességek Δϑ=Δϑκ+Δϑπ összegének 10-szerese, tehát ha ϑπ-ϑκ>10Δϑ, akkor a két gyűrűt jól el lehet különíteni egymástól. Határozd meg azt a maximális Δp értéket, amely mellett a két gyűrű még jól elkülöníthető!
 
5. Cserenkov a nevéről elnevezett jelenséget először egy vízzel telt palackban figyelte meg, mely radioaktív forrás közelében helyezkedett el. Szemével érzékelte, hogy a palackban levő víz fényt bocsát ki.
5.1. Határozd meg azt a Tmin minimális mozgási energiát, amely mellett egy M nyugalmi tömegű, vízben haladó részecske Cserenkov-sugárzást bocsát ki! A víz törésmutatója n=1,33.
5.2. Tudjuk, hogy a Cserenkov által használt sugárforrás vagy Mα=3,8GeV/c2 nyugalmi tömegű α-részecskéket (azaz hélium atommagokat) vagy Me=0,51MeV/c2 nyugalmi tömegű β-részecskéket (azaz elektronokat) bocsát ki. Határozd meg Tmin számszerű értékét α- és β-részecskék esetén!
Felhasználva, hogy radioaktív sugárforrások által kibocsátott részecskék mozgási energája soha nem halad meg néhány MeV-ot, döntsd el, hogy melyik részecske hozta létre a Cserenkov által először megfigyelt sugárzást!
 
6. Az előző kérdésekben a Cserenkov-effektusnak a kibocsátott fény hullámhosszától való függését nem vettük figyelembe. Most tekintetbe vesszük azt a tényt, hogy a Cserenkov-sugárzásnak széles folytonos spektruma van, mely tartalmazza a látható (0,4 μm-től 0,8 μm-es hullámhosszig terjedő) tartományt is. Azt is tudjuk, hogy a látható fény tartományában a λ hullámhossz növelésével a sugárzó közeg n törésmutatója lineárisan csökken (n-1)-nek 2%-ával.
6.1. Tekintsünk egy pontosan 10,0GeV/c impulzusú pionokból álló nyalábot, amely 6 atm nyomású levegőben halad. Határozd meg a látható tartomány két végpontjához tartozó δϑ szögeltérést!
6.2. Az előző eredmény alapján tanulmányozd kvalitatíven (nem számszerűen) a diszperzió hatását egy olyan pion-nyaláb által létrehozott gyűrűs képen, melyben a részecskék impulzusa a p=10GeV/c érték körül Δp=0,3GeV/c félérték-szélességgel oszlik el.
6.2.1. Határozd meg a gyűrűnek a diszperzió (azaz a törésmutató hullámhossz függése miatt bekövetkező) kiszélesedését, valamint a gyűrűnek a nyalábot alkotó részecskék impulzus-inhomogenitásából fakadó kiszélesedését!
6.2.2. Hogyan változik a gyűrű színe, miközben a gyűrű belső élétől a külső él felé haladunk!