Kezdőlap


Feladat:	2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 12. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2008/november, 492 - 494. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb elektromágneses hullám, Egyéb relativitáselmélet
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/október: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mialatt a részecske $t$ idő alatt a $C$ pontból $s = v t = t β c$ utat megtéve a $B$ pontba ér, a $C$ pontban kibocsátott fény egy $R = t \frac{c}{n}$ sugarú gömböt ér el.
Így a hullámfront a $B$ -ből a gömbhöz húzott érintő kúp, amely

\begin{matrix} φ = arcsin \frac{R}{s} = arcsin \frac{1}{β n} \end{matrix}

szöget zár be a részecske pályájával.

4. ábra. A hullámfront szerkesztése

Adott irányból párhuzamosan érkező fénysugarakat a homorú gömbtükör a fókuszsíkba képzi. A kép pontos helyét a tükör

C

geometriai középpontján áthaladó sugármenet metszi ki, amely visszaverődés után szintén keresztülhalad

C

-n.
Az 5. ábrán felrajzoltuk az optikai tengelyhez képest

α

α + ϑ

és

α - ϑ

szögben haladó

C

-n átmenő fénysugarakat, melyek a fókuszsíkot az

O

M

és

N

pontban metszik. A tükör által alkotott kép (kis

α

ϑ

szögek esetén) egy

r = O M = O N = f ϑ

sugarú kör, melynek

O

középpontja

O F = f α

távolságra esik az

F

fókuszponttól.

5. ábra. A gyűrűs kép létrejötte

3.1. A

p = \frac{M v}{\sqrt[]{1 - β^{2}}}

(relativisztikus) impulzus képletéből az

M

nyugalmi tömeg ismeretében kifejezhető a részecskék

β = \frac{v}{c}

dimenziótlan sebessége:

\begin{matrix} β = {(1 + {(\frac{M c^{2}}{p c})}^{2})}^{- \frac{1}{2}} \approx 1 - δ, ahol δ = \frac{1}{2} {(\frac{M c^{2}}{p c})}^{2} . \end{matrix}

(1)

Az utolsó közelítés akkor érvényes, ha

δ ≪ 1

. Ez esetünkben jó közelítéssel fennáll mindhárom részecskére:

\begin{matrix} δ_{p} = 4, 42 \cdot 10^{- 3}, δ_{κ} = 1, 25 \cdot 10^{- 3}, δ_{π} = 9, 8 \cdot 10^{- 5} . \end{matrix}

(2)

A Cserenkov-effektus akkor lép fel, ha a részecske

v

sebessége nagyobb a közegbeli

\frac{c}{n}

fénysebességnél, ahol

n

a törésmutatót jelöli. Határesetben

v = \frac{c}{n_{{min}_{}^{}}}

, tehát a minimális törésmutató, amely mellett megfigyelhető a Cserenkov-effektus:

\begin{matrix} n_{min} = \frac{1}{β} = \sqrt[]{1 + {(\frac{M c^{2}}{p c})}^{2}} \approx 1 + δ . \end{matrix}

A törésmutató ismeretében a kritikus nyomás

P_{{min}_{}^{}} = \frac{n_{{min}_{}^{}} - 1}{a} = \frac{δ}{a}

. A számszerű eredmények:

\begin{matrix} P_{min, proton} = 16 atm, P_{min, kaon} = 4, 6 atm, P_{min, pion} = 0, 36 atm . \end{matrix}

3.2. A gyűrűk sugara

r = f ϑ

, ahol a sugárzási kúp

ϑ

félnyílásszögére a 4. ábra alapján a

cos ϑ = \frac{1}{n β}

egyenlőség teljesül. Most azt az

n_{\frac{1}{2}}

törésmutatót keressük, amely mellett

2 r_{κ} = r_{π}

, azaz

2 ϑ_{κ} = ϑ_{π}

. Ezek felhasználásával

\begin{matrix} \frac{1}{n_{\frac{1}{2}} β_{π}} = cos ϑ_{π} = cos (2 ϑ_{κ}) = 2 cos^{2} ϑ_{κ} - 1 = \frac{2}{n_{\frac{1}{2}}^{2} β_{κ}^{2}} - 1. \end{matrix}

Az egyenlőségsor első és utolsó eleme a

\begin{matrix} β_{π} β_{κ}^{2} n_{\frac{1}{2}}^{2} + β_{κ}^{2} n_{\frac{1}{2}} - 2 β_{π} = 0 \end{matrix}

(3)

másodfokú egyenletet adja a keresett

n_{\frac{1}{2}}

törésmutatóra, mely egyszerűen linearizálható, ha észrevesszük, hogy mind

n_{\frac{1}{2}}

, mind

β_{π}

és

β_{κ}

nagyon kicsit tér el

1

-től:

\begin{matrix} β_{π} \approx 1 - δ_{π}, β_{κ} \approx 1 - δ_{κ}, n_{\frac{1}{2}} = 1 + η . \end{matrix}

(4)

Ezeket a közelítéseket (3)-ba beírva, és csak az elsőrendű tagokat tartva meg, az adódik, hogy:

\begin{matrix} η = \frac{4 δ_{κ} - δ_{π}}{3} = 1, 634 \cdot 10^{- 3} és P_{\frac{1}{2}} = \frac{η}{a} = 6, 05 atm . \end{matrix}

Ezen a nyomáson a protonok nem keltenek Cserenkov-sugárzást. A törésmutató ismeretében meghatározható a kaonok és pionok által keltett sugárzási kúp félnyílásszöge:

\begin{matrix} ϑ_{κ} & = arccos (\frac{1}{n_{\frac{1}{2}} β_{κ}}) \approx \sqrt[]{2 (η - δ_{κ})} = 2, 77 \cdot 10^{- 2} rad = 1, 6^{\circ}, & (5) \\ ϑ_{π} & = 2 ϑ_{κ} = 5, 54 \cdot 10^{- 2} rad = 3, 2^{\circ} . \end{matrix}

(Ismert, hogy

x ≪ 1

esetén

cos x \approx 1 - \frac{x^{2}}{2}

. Innen

arccos (1 - y) \approx \sqrt[]{2 y}

, ahol

y = \frac{x^{2}}{2} ≪ 1

. A közelítésnél ezt az összefüggést, valamint a (4) egyenleteket használtuk fel.)
4.1. Az (1) és (5) egyenletek alapján a

ϑ

félnyílásszög a

p

impulzus függvényében

\begin{matrix} ϑ (p) \approx \sqrt[]{2 η - {(\frac{M c^{2}}{p c})}^{2}}, így \frac{d ϑ}{d p} \approx \frac{{(M c^{2})}^{2}}{ϑ \cdot {(p c)}^{3}} c . \end{matrix}

(6)

A számértékek behelyettesítése után azt kapjuk, hogy:

\begin{matrix} \frac{d ϑ_{κ}}{d p} = \frac{9, 03 \cdot 10^{- 3} \cdot c}{GeV} = \frac{0, 52^{\circ} \cdot c}{GeV}, \frac{d ϑ_{π}}{d p} = \frac{3, 54 \cdot 10^{- 4} \cdot c}{GeV} = \frac{0, 02^{\circ} \cdot c}{GeV} . \end{matrix}

(7)

(A részecskefizikában az impulzus megadására gyakran használják az

\frac{elektronvolt}{fénysebesség}

mértékegységet.)
4.2. A feltételekből az impulzus bizonytalansága:

\begin{matrix} Δ p < \frac{ϑ_{π} - ϑ_{κ}}{10 (ϑ'_{κ} + ϑ'_{π})} = 0, 3 \frac{GeV}{c} . \end{matrix}

5. Adott

n

törésmutatójú közegben Cserenkov-sugárzás a

v_{{min}_{}^{}} = \frac{c}{n}

sebesség fölött észlelhető. Ennél a sebességnél a mozgási energia:

\begin{matrix} T_{{min}_{}^{}} = \frac{M c^{2}}{\sqrt[]{1 - \frac{v_{{min}_{}^{}}^{2}}{c^{2}}}} - M c^{2} = M c^{2} (\frac{n}{\sqrt[]{n^{2} - 1}} - 1) = 0, 51 \cdot M c^{2} . \end{matrix}

α

-részecskékre, illetve elektronokra ezek az értékek

\begin{matrix} T_{α} = 0, 51 \cdot 3, 8 GeV = 1, 94 GeV, T_{β} = 0, 51 \cdot 0,51 MeV = 0, 26 MeV, \end{matrix}

ami azt jelenti, hogy elektronok hozták létre a Cserenkov által észlelt sugárzást.
6.1.

P

nyomáson

η = n - 1 = a P

, tehát a látható tartomány két végpontjához tartozó törésmutatók eltérése

Δ n = Δ η = 0, 02 \cdot a P = 3, 24 \cdot 10^{- 5}

. A keresett

Δ ϑ

szögeltérés a (6) egyenletben felírt

ϑ

szög

η

változó szerinti differenciálásával kapható meg:

\begin{matrix} Δ ϑ_{π} = \frac{d ϑ_{π} (η)}{d η} Δ η = \frac{Δ η}{ϑ_{π}} = 0, 033^{\circ} . \end{matrix}

6.2. Az előző pontban láttuk, hogy a diszperzió miatti kiszélesedés félértékszélessége

\frac{Δ ϑ_{π}}{2} = 0, 017^{\circ}

. A (7) egyenlet alapján az impulzus-inhomogenitás miatti kiszélesedés

\begin{matrix} \frac{0, 02^{\circ} \cdot c}{GeV} \cdot \frac{0, 3 GeV}{c} = 0, 006^{\circ}, \end{matrix}

ami háromszor kisebb a diszperzióhoz tartozó kiszélesedésnél. Kisebb hullámhosszon a törésmutató nagyobb, tehát a Cserenkov-kúp nyílásszöge szélesebb. Ez azt jelenti, hogy a gyűrű színe kívül kékes, középen fehér, belül pedig vöröses.