Feladat: B.3887 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szűcs Gergely 
Füzet: 2007/március, 147 - 148. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Testek szinezése, Osztók száma, Kocka, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/február: B.3887

Tíznél több egységnyi fakockából egy nagy, tömör kockát építettünk, majd a nagy kocka minden lapját befestettük. Ezután különválasztottuk a többitől azokat a kis kockákat, amelyeknek egyetlen lapja sincs befestve. Lehet-e ezen kockák száma többszöröse a többi kocka számának?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Nem lehet. Tegyük föl, hogy a nagy kocka (n+2)3 darab egységkockából áll. A festésmentes kis kockák száma (amik nem érintkeznek a nagy kocka felszínével) n3. A legalább egyik oldalukon festett kockák száma így (n+2)3-n3=6n2+12n+8. Tételezzük fel, hogy 6n2+12n+8n3. Ezek szerint n3 szükségképpen páros, így n is az: n=2k; ezzel

6(2k)2+122k+8(2k)3,  ezért  3k2+3k+1k3.
Jelölje p az osztó, azaz 3k2+3k+1 tetszőleges prímosztóját; ekkor pk3, tehát pk. Így viszont p3k2+3k, amiből következik, hogy p a (3k2+3k+1)-(3k2+3k)=1-nek is osztója, ami lehetetlen. A 3k2+3k+1 számnak tehát nincs prímosztója, azaz 3k2+3k+1=1, innen k=0, n=0: az egységkockák száma ezek szerint csak 8 lehet, amit viszont a feladat feltétele kizárt.
 
II. megoldás. Legyen d=(n+2)3-n3=6n2+12n+8. Ha d osztója n3-nak, akkor osztója a dn-6n3=12n2+8n számnak is. Így
d12n2+8n<12n2+24n+16=2d,
ezért d=dn-6n3, azaz
d(n-1)=6n3.(1)
Innen a megoldás többféleképpen is befejezhető. Észrevehetjük, hogy n-1 osztója 6n3-nak, viszont relatív prím n-hez, így n3-hoz is; ezért n-1 osztója a 6-nak, ami csupán n=2, 3, 4 és 7 esetén áll fenn. Közvetlen számolással ellenőrizhető, hogy ezen esetek egyikében sem teljesül a dn3 oszthatóság.
Ha a fenti érveléstől eltérően az (1)-be behelyettesítjük d=6n2+12n+8-at, akkor n-re a 3n2-2n-4=0 másodfokú egyenletet kapjuk, aminek nincs egész megoldása.