Kezdőlap


Feladat:	B.3887	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szűcs Gergely
Füzet:	2007/március, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Testek szinezése, Osztók száma, Kocka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/február: B.3887

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Nem lehet. Tegyük föl, hogy a nagy kocka ${(n + 2)}^{3}$ darab egységkockából áll. A festésmentes kis kockák száma (amik nem érintkeznek a nagy kocka felszínével) $n^{3}$ . A legalább egyik oldalukon festett kockák száma így ${(n + 2)}^{3} - n^{3} = 6 n^{2} + 12 n + 8$ . Tételezzük fel, hogy $6 n^{2} + 12 n + 8 ∣ n^{3}$ . Ezek szerint $n^{3}$ szükségképpen páros, így $n$ is az: $n = 2 k$ ; ezzel

\begin{matrix} 6 {(2 k)}^{2} + 12 \cdot 2 k + 8 ∣ {(2 k)}^{3}, ezért 3 k^{2} + 3 k + 1 ∣ k^{3} . \end{matrix}

Jelölje

p

az osztó, azaz

3 k^{2} + 3 k + 1

tetszőleges prímosztóját; ekkor

p ∣ k^{3}

, tehát

p ∣ k

. Így viszont

p ∣ 3 k^{2} + 3 k

, amiből következik, hogy

p

(3 k^{2} + 3 k + 1) - (3 k^{2} + 3 k) = 1

-nek is osztója, ami lehetetlen. A

3 k^{2} + 3 k + 1

számnak tehát nincs prímosztója, azaz

3 k^{2} + 3 k + 1 = 1

, innen

k = 0

n = 0

: az egységkockák száma ezek szerint csak 8 lehet, amit viszont a feladat feltétele kizárt.

II. megoldás. Legyen

d = {(n + 2)}^{3} - n^{3} = 6 n^{2} + 12 n + 8

. Ha

d

osztója

n^{3}

-nak, akkor osztója a

d n - 6 n^{3} = 12 n^{2} + 8 n

számnak is. Így

\begin{matrix} d ∣ 12 n^{2} + 8 n < 12 n^{2} + 24 n + 16 = 2 d, \end{matrix}

ezért

d = d n - 6 n^{3}

, azaz

\begin{matrix} d (n - 1) = 6 n^{3} . \end{matrix}

(1)

Innen a megoldás többféleképpen is befejezhető. Észrevehetjük, hogy

n - 1

osztója

6 n^{3}

-nak, viszont relatív prím

n

-hez, így

n^{3}

-hoz is; ezért

n - 1

osztója a 6-nak, ami csupán

n = 2

, 3, 4 és 7 esetén áll fenn. Közvetlen számolással ellenőrizhető, hogy ezen esetek egyikében sem teljesül a

d ∣ n^{3}

oszthatóság.
Ha a fenti érveléstől eltérően az (1)-be behelyettesítjük

d = 6 n^{2} + 12 n + 8

-at, akkor

n

-re a

3 n^{2} - 2 n - 4 = 0

másodfokú egyenletet kapjuk, aminek nincs egész megoldása.