Feladat: B.3837 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2006/február, 95 - 96. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Négyzetek, Háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/szeptember: B.3837

Jelölje P, illetve Q az ABC háromszög AB oldalára kifelé rajzolt ABDE négyzet és a BC oldalára kifelé rajzolt BCGH négyzet középpontját. Az AC és a DH szakaszok felezőpontja R, illetve S. Mutassuk meg, hogy a P, Q, R és S pontok egy négyzet csúcsai.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje az AB szakasz felezőpontját F, a BC-ét I, a BD-ét J, a BH-ét pedig K. Mivel PJBF négyzet, PJ párhuzamos és egyenlő az ABC háromszög RI középvonalával; hasonlóan JS párhuzamos és egyenlő IQ-val. Ezért (azonos körüljárásuk miatt) a PJS háromszög az RIQ háromszög eltoltja, így PS párhuzamos és egyenlő az RQ szakasszal. Ugyanígy adódik, hogy SQ párhuzamos és egyenlő PR-rel. A feladat megoldásához már csak azt kell megmutatni, hogy például a PS és a PR szakaszok egyenlők és egymásra merőlegesek. Forgassuk el ehhez a PJS háromszöget P körül 90-kal, így a J pont F-be kerül. Mivel JS a DBH háromszög BH oldalához tartozó középvonala, JS párhuzamos és egyenlő BK-val. Az RF szakasz viszont az ABC háromszög BC oldalához tartozó középvonala, ezért RF párhuzamos és egyenlő BI-vel. A BI és BK szakaszok a BKQI négyzet szomszédos oldalai lévén merőlegesek és egyenlő hosszúságúak, ezért ugyanez teljesül a JS és FR szakaszokra is. Tehát (azonos körüljárásuk miatt) a PJS háromszöget P körül 90-kal elforgatva a PFR háromszöghöz jutunk, ezen belül PS a PR-be kerül. Ezzel állításunkat beláttuk.

 
 

II. megoldás. A feladat (és sok, ehhez hasonló kérdés) a komplex számok segítségével szinte gépiesen, bár némi számolással megoldható. Tekintsük ehhez a sík egy tetszőlegesen rögzített O pontját, és a belőle a sík különböző pontjaiba mutató vektorokat azonosítsuk a komplex számokkal. Jelöljük általában az OP vektort, illetve a neki megfelelő komplex számot p-vel. A számolás alapja egyrészt a komplex számok körében az alapműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok teljesülése, másrészt az, hogy az i-vel való szorzás az O körüli 90-os forgatásnak felel meg. A korábbi jelölésekkel ekkor
PS=s-p=12(h+d)-(f+FP)=12((b+BH)+(b+BD))-(f+iFA)==12((b+i(b-c))+(b+i(a-b)))-(12(a+b)+i12(a-b))==12(-a+b(i+1)-ci),SQ=q-s=(12(b+c)+i12(b-c))-12((b+i(b-c))+(b+i(a-b)))==12(-ai+b(i-1)+c),QR=r-q=12(a+c)-(12(b+c)+i12(b-c))=12(a-b(i+1)+ci).
Látható, hogy
PSi=12(-a+b(i+1)-ci)i=12(-ai+b(-1+i)+c)=SQ,SQi=12(-ai+b(i-1)+c)i=(a+b(-1-i)+ci)=QR.
Tehát PS 90-os elforgatottja SQ, az SQ 90-os elforgatottja QR, azaz PSQR valóban négyzet.