A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelölje az szakasz felezőpontját , a -ét , a -ét , a -ét pedig . Mivel négyzet, párhuzamos és egyenlő az háromszög középvonalával; hasonlóan párhuzamos és egyenlő -val. Ezért (azonos körüljárásuk miatt) a háromszög az háromszög eltoltja, így párhuzamos és egyenlő az szakasszal. Ugyanígy adódik, hogy párhuzamos és egyenlő -rel. A feladat megoldásához már csak azt kell megmutatni, hogy például a és a szakaszok egyenlők és egymásra merőlegesek. Forgassuk el ehhez a háromszöget körül -kal, így a pont -be kerül. Mivel a háromszög oldalához tartozó középvonala, párhuzamos és egyenlő -val. Az szakasz viszont az háromszög oldalához tartozó középvonala, ezért párhuzamos és egyenlő -vel. A és szakaszok a négyzet szomszédos oldalai lévén merőlegesek és egyenlő hosszúságúak, ezért ugyanez teljesül a és szakaszokra is. Tehát (azonos körüljárásuk miatt) a háromszöget körül -kal elforgatva a háromszöghöz jutunk, ezen belül a -be kerül. Ezzel állításunkat beláttuk.
II. megoldás. A feladat (és sok, ehhez hasonló kérdés) a komplex számok segítségével szinte gépiesen, bár némi számolással megoldható. Tekintsük ehhez a sík egy tetszőlegesen rögzített pontját, és a belőle a sík különböző pontjaiba mutató vektorokat azonosítsuk a komplex számokkal. Jelöljük általában az vektort, illetve a neki megfelelő komplex számot -vel. A számolás alapja egyrészt a komplex számok körében az alapműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok teljesülése, másrészt az, hogy az -vel való szorzás az körüli -os forgatásnak felel meg. A korábbi jelölésekkel ekkor
Látható, hogy
Tehát -os elforgatottja , az -os elforgatottja , azaz valóban négyzet. |