Feladat: B.3805 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kálosi Anna 
Füzet: 2006/január, 25 - 26. oldal  PDF file
Témakör(ök): Húrnégyszögek, Trigonometriai azonosságok, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/március: B.3805

Egy húrnégyszög oldalai a, b, c, d, kerülete 2s, az a és b oldalak által bezárt szöge pedig α. Mutassuk meg, hogy
tg2α2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A húrnégyszög csúcsai A, B, C, D, a BD átlót jelölje f. Az ABC és ACD háromszögekben írjuk fel a koszinusztételt:

f2=a2+b2-2abcosα,(1)f2=c2+d2-2cdcos(180-α).(2)
Felhasználtuk, hogy a húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180, azaz ha ABC=α, akkor ADC=180-α.
Mivel cosα=-cos(180-α), a (2) egyenletből az (1) egyenletet kivonva:
0=c2+d2-a2-b2+2(ab+cd)cosα,cosα=a2+b2-c2-d22(ab+cd).(3)



Felhasználva, hogy tg2α2=1-cosα1+cosα, a (3) egyenlet alapján:
1+cosα=2ab+2cd+a2+b2-c2-d22(ab+cd)=(a+b)2-(c-d)22(ab+cd),1-cosα=2ab+2cd-a2-b2+c2+d22(ab+cd)=(c+d)2-(a-b)22(ab+cd).
Mivel a négyszög kerülete 2s, a+b=2s-c-d, c+d=2s-a-b.
Az eddig leírtakból:
tg2α2=1-cosα1+cosα=(c+d)2-(a-b)2(a+b)2-(c-d)2=(2s-a-b)2-(a-b)2(2s-c-d)2-(c-d)2==4s2-4s(a+b)+(a+b)2-(a-b)24s2-4s(c+d)+(c+d)2-(c-d)2=4s2-4sa-4sb+4ab4s2-4sc-4sd+4cd==(s-a)(s-b)(s-c)(s-d),
a feladat állítását igazoltuk.