Kezdőlap


Feladat:	B.3805	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kálosi Anna
Füzet:	2006/január, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Trigonometriai azonosságok, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/március: B.3805

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A húrnégyszög csúcsai $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , a $B D$ átlót jelölje $f$ . Az $A B C$ és $A C D$ háromszögekben írjuk fel a koszinusztételt:

\begin{matrix} f^{2} & = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos α, & (1) \\ f^{2} & = c^{2} + d^{2} - 2 c d cos (180^{\circ} - α) . & (2) \end{matrix}

Felhasználtuk, hogy a húrnégyszögben a szemközti szögek összege

180^{\circ}

, azaz ha

A B C ∢ = α

, akkor

A D C ∢ = 180^{\circ} - α

.
Mivel

cos α = - cos (180^{\circ} - α)

, a (2) egyenletből az (1) egyenletet kivonva:

\begin{matrix} 0 = c^{2} + d^{2} - a^{2} - b^{2} + 2 (a b + c d) cos α, \\ cos α = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}}{2 (a b + c d)} . & (3) \end{matrix}

Felhasználva, hogy

tg^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{1 + cos α}

, a (3) egyenlet alapján:

\begin{matrix} 1 + cos α & = \frac{2 a b + 2 c d + a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}}{2 (a b + c d)} = \frac{{(a + b)}^{2} - {(c - d)}^{2}}{2 (a b + c d)}, \\ 1 - cos α & = \frac{2 a b + 2 c d - a^{2} - b^{2} + c^{2} + d^{2}}{2 (a b + c d)} = \frac{{(c + d)}^{2} - {(a - b)}^{2}}{2 (a b + c d)} . \end{matrix}

Mivel a négyszög kerülete

2 s

a + b = 2 s - c - d

c + d = 2 s - a - b

.
Az eddig leírtakból:

\begin{matrix} tg^{2} \frac{α}{2} & = \frac{1 - cos α}{1 + cos α} = \frac{{(c + d)}^{2} - {(a - b)}^{2}}{{(a + b)}^{2} - {(c - d)}^{2}} = \frac{{(2 s - a - b)}^{2} - {(a - b)}^{2}}{{(2 s - c - d)}^{2} - {(c - d)}^{2}} = \\ = \frac{4 s^{2} - 4 s (a + b) + {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}}{4 s^{2} - 4 s (c + d) + {(c + d)}^{2} - {(c - d)}^{2}} = \frac{4 s^{2} - 4 s a - 4 s b + 4 a b}{4 s^{2} - 4 s c - 4 s d + 4 c d} = \\ = \frac{(s - a) (s - b)}{(s - c) (s - d)}, \end{matrix}

a feladat állítását igazoltuk.