Feladat: B.3660 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Antal László ,  Balogh Tamás ,  Bereczki Péter ,  Birkner Tamás ,  Birkus Róbert ,  Bodnár József ,  Bogár Péter ,  Csajbók Bence ,  Eckert Bernadett ,  Erdélyi Márton ,  Filus Tamás ,  Gehér György ,  Goszonyi Balázs ,  Gyarmati Ákos ,  Gyenizse Gergő ,  Holló László ,  Kórus Péter ,  Kovács Judit ,  Kunovszki Péter ,  Lorántfy Bettina ,  Majoros Csilla ,  Milotai Zoltán ,  Nagy Ákos ,  Nikházy László ,  Pálinkás Csaba ,  Petényi Fraciska ,  Poronyi Balázs ,  Prónai Anett ,  Sáfár Simon ,  Sándor Ágnes Petra ,  Sommer Dániel ,  Strenner Balázs ,  Szabó Botond ,  Szalóki Dávid ,  Szűcs Gábor ,  Urbin Ágnes ,  Vass Márton 
Füzet: 2004/október, 409 - 411. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/szeptember: B.3660

Egy körvonalat az X, Y és Z pontok három olyan ívre osztanak, amelyekhez tartozó középponti szögek 60, 100 és 200.
Ha A, B és C egy háromszög csúcsai, akkor jelölje MA és MB a háromszög A, illetve B csúcsából induló magasságvonalnak a háromszög köré írt körrel vett metszéspontját, FC pedig a C csúcsnál lévő szög szögfelezőjének a körülírt körrel vett metszéspontját.
Határozzuk meg az összes olyan hegyesszögű ABC háromszöget, amelyre az MA, MB és FC pontok valamilyen sorrendben megegyeznek az X, Y és Z pontokkal.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.

 
 

Megoldás. Az ABC háromszög hegyesszögű, ezért a magasságpont és a körülírt kör O középpontja a háromszög belsejében van. A kerületi és középponti szögek tételét alkalmazzuk:
AOFC=2ACFC=2γ2=γ.
Mivel MBBAC, így MBBA=90-α. Ismét a kerületi és középponti szögek tétele szerint:
MBOA=2MBBA==2(90-α)=180-2α.


Így MBOFC=γ+180-2α. Hasonlóan adódik, hogy MAOFC=γ+180-2β. Ezekből
MAOMB=360-MBOFC-MAOFC==360-(γ+180-2α)-(γ+180-2β)=2α+2β-2γ=360-4γ


(felhasználva, hogy α+β+γ=180).
Tehát a három adott nagyságú szög a háromszög szögeivel kifejezve: 360-4γ, 180+γ-2α, 180+γ-2β. Mivel a feladatban α és β szerepe felcserélhető, alapvetően három esetet különböztethetünk meg:
1. 360-4γ=60, innen γ=75,
180+75-2α=100α=77,5,
180+75-2β=200β=27,5.
2. 360-4γ=100, innen γ=65,
180+65-2α=60α=92,5>90: nem hegyesszögű a háromszög
(180+65-2β=200β=22,5).
3. 360-4γ=200, innen γ=40,
180+40-2α=60α=80,
180+40-2β=100β=60.

Tehát a feladatnak két megoldása van a hegyesszögű háromszögek körében: γ=75, α és β nagysága 77,5, ill. 27,5; vagy γ=40, α és β nagysága 60, ill. 80.