Kezdőlap


Feladat:	B.3660	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antal László , Balogh Tamás , Bereczki Péter , Birkner Tamás , Birkus Róbert , Bodnár József , Bogár Péter , Csajbók Bence , Eckert Bernadett , Erdélyi Márton , Filus Tamás , Gehér György , Goszonyi Balázs , Gyarmati Ákos , Gyenizse Gergő , Holló László , Kórus Péter , Kovács Judit , Kunovszki Péter , Lorántfy Bettina , Majoros Csilla , Milotai Zoltán , Nagy Ákos , Nikházy László , Pálinkás Csaba , Petényi Fraciska , Poronyi Balázs , Prónai Anett , Sáfár Simon , Sándor Ágnes Petra , Sommer Dániel , Strenner Balázs , Szabó Botond , Szalóki Dávid , Szűcs Gábor , Urbin Ágnes , Vass Márton
Füzet:	2004/október, 409 - 411. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/szeptember: B.3660

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.

Megoldás. Az

A B C

háromszög hegyesszögű, ezért a magasságpont és a körülírt kör

O

középpontja a háromszög belsejében van. A kerületi és középponti szögek tételét alkalmazzuk:

\begin{matrix} A O F_{C} ∢ = 2 \cdot A C F_{C} ∢ = 2 \cdot \frac{γ}{2} = γ . \end{matrix}

Mivel

M_{B} B ⊥ A C

, így

M_{B} B A ∢ = 90^{\circ} - α

. Ismét a kerületi és középponti szögek tétele szerint:

\begin{matrix} M_{B} O A ∢ = 2 \cdot M_{B} B A ∢ = \\ = 2 \cdot (90^{\circ} - α) = 180^{\circ} - 2 α . \end{matrix}

Így

M_{B} O F_{C} ∢ = γ + 180^{\circ} - 2 α

. Hasonlóan adódik, hogy

M_{A} O F_{C} ∢ = γ + 180^{\circ} - 2 β

. Ezekből

\begin{matrix} M_{A} O M_{B} ∢ = 360^{\circ} - M_{B} O F_{C} ∢ - M_{A} O F_{C} ∢ = \\ = 360^{\circ} - (γ + 180^{\circ} - 2 α) - (γ + 180^{\circ} - 2 β) = 2 α + 2 β - 2 γ = 360^{\circ} - 4 γ \end{matrix}

(felhasználva, hogy

α + β + γ = 180^{\circ}

).
Tehát a három adott nagyságú szög a háromszög szögeivel kifejezve:

360^{\circ} - 4 γ

180^{\circ} + γ - 2 α

180^{\circ} + γ - 2 β

. Mivel a feladatban

α

és

β

szerepe felcserélhető, alapvetően három esetet különböztethetünk meg:

1.	$360^{\circ} - 4 γ = 60^{\circ}$ , innen $γ = 75^{\circ}$ , $180^{\circ} + 75^{\circ} - 2 α = 100^{\circ} \Rightarrow α = 77, 5^{\circ}$ , $180^{\circ} + 75^{\circ} - 2 β = 200^{\circ} \Rightarrow β = 27, 5^{\circ}$ .

2.	$360^{\circ} - 4 γ = 100^{\circ}$ , innen $γ = 65^{\circ}$ , $180^{\circ} + 65^{\circ} - 2 α = 60^{\circ} \Rightarrow α = 92, 5^{\circ} > 90^{\circ}$ : nem hegyesszögű a háromszög ( $180^{\circ} + 65^{\circ} - 2 β = 200^{\circ} \Rightarrow β = 22, 5^{\circ}$ ).

3.	$360^{\circ} - 4 γ = 200^{\circ}$ , innen $γ = 40^{\circ}$ , $180^{\circ} + 40^{\circ} - 2 α = 60^{\circ} \Rightarrow α = 80^{\circ}$ , $180^{\circ} + 40^{\circ} - 2 β = 100^{\circ} \Rightarrow β = 60^{\circ}$ .

Tehát a feladatnak két megoldása van a hegyesszögű háromszögek körében:

γ = 75^{\circ}

α

és

β

nagysága

77, 5^{\circ}

, ill.

27, 5^{\circ}

; vagy

γ = 40^{\circ}

α

és

β

nagysága

60^{\circ}

, ill.

80^{\circ}