Feladat: B.3624 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Zomborszki Róbert 
Füzet: 2004/március, 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/március: B.3624

Az a és b pozitív számokra teljesül, hogy
(a+b)n-(a-b)n(a+b)n+(a-b)n=ab,
ahol n adott pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy a=b.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A nevezőkkel beszorzunk és rendezzük:

b(a+b)n-b(a-b)n=a(a+b)n+a(a-b)n,b(a+b)n-a(a+b)n=a(a-b)n+b(a-b)n,(b-a)(a+b)n=(a+b)(a-b)n,(a+b)(a-b)n-(b-a)(a+b)n=0,(a+b)(a-b)n+(a-b)(a+b)n=0,(a+b)(a-b)[(a-b)n-1+(a+b)n-1]=0.

1. eset: (a+b)(a-b)=0, amiből a=b következik, hiszen a és b pozitív számok.
2. eset: (a-b)n-1+(a+b)n-1=0.
Ha n páratlan, akkor n-1 páros, vagyis (a-b)n-10. A feladat feltételei szerint a+b>0, vagyis (a+b)n-1>0. Így (a-b)n-1+(a+b)n-1>0.
Ha n páros, akkor n-1 páratlan, vagyis ha (a-b)n-1+(a+b)n-1=0 lenne, akkor (a+b)n-1=(b-a)n-1, amiből a+b=b-a következne. Ebből azonban a=0 adódna, ami ellentmond a feladat feltételeinek. A második tényező tehát nem lehet nulla.
Ha az eredeti egyenlőség teljesül az a és b pozitív számokra, akkor valóban a=b.