Kezdőlap


Feladat:	B.3624	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zomborszki Róbert
Füzet:	2004/március, 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/március: B.3624

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A nevezőkkel beszorzunk és rendezzük:

\begin{matrix} \begin{matrix} b {(a + b)}^{n} - b {(a - b)}^{n} = a {(a + b)}^{n} + a {(a - b)}^{n}, \\ b {(a + b)}^{n} - a {(a + b)}^{n} = a {(a - b)}^{n} + b {(a - b)}^{n}, \\ (b - a) {(a + b)}^{n} = (a + b) {(a - b)}^{n}, \\ (a + b) {(a - b)}^{n} - (b - a) {(a + b)}^{n} = 0, \\ (a + b) {(a - b)}^{n} + (a - b) {(a + b)}^{n} = 0, \\ (a + b) (a - b) [{(a - b)}^{n - 1} + {(a + b)}^{n - 1}] = 0. \end{matrix} \end{matrix}

1. eset:

(a + b) (a - b) = 0

, amiből

a = b

következik, hiszen

a

és

b

pozitív számok.
2. eset:

{(a - b)}^{n - 1} + {(a + b)}^{n - 1} = 0

.
Ha

n

páratlan, akkor

n - 1

páros, vagyis

{(a - b)}^{n - 1} \geq 0

. A feladat feltételei szerint

a + b > 0

, vagyis

{(a + b)}^{n - 1} > 0

. Így

{(a - b)}^{n - 1} + {(a + b)}^{n - 1} > 0

.
Ha

n

páros, akkor

n - 1

páratlan, vagyis ha

{(a - b)}^{n - 1} + {(a + b)}^{n - 1} = 0

lenne, akkor

{(a + b)}^{n - 1} = {(b - a)}^{n - 1}

, amiből

a + b = b - a

következne. Ebből azonban

a = 0

adódna, ami ellentmond a feladat feltételeinek. A második tényező tehát nem lehet nulla.
Ha az eredeti egyenlőség teljesül az

a

és

b

pozitív számokra, akkor valóban

a = b