Feladat: B.3646 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Fehér Borbála 
Füzet: 2004/január, 32. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Hozzáírt körök, Háromszög területe, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/május: B.3646

Egy háromszög egy oldalához ,,hozzáírt háromszög'' csúcsai azok a pontok, amelyekben az adott oldalhoz hozzáírt kör érinti a háromszög oldalegyeneseit. A háromszög oldalai a, b, c. Mennyi az a és a b oldalakhoz ,,hozzáírt háromszögek'' területének aránya?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a háromszög csúcsait és szögeit a szokásos módon A, B, C, illetve α, β, γ-val. Az a oldalhoz hozzáírt háromszög csúcsait jelöljük az ábrán látható módon P, Q, R-rel, a hozzáírt kör középpontját OA-val, sugarát pedig ra-val.

 
 

Az OARBP és OAQCR négyszögek húrnégyszögek, ugyanis P-nél és R-nél, illetve Q-nál és R-nél lévő szögeik derékszögek, mert a hozzáírt kör érintői merőlegesek az érintési pontoz tartozó sugárra. Ezért POAR=ABC=β és QOAR=ACB=γ. Mivel β+γ<180, azért OA és R a PQ egyenes két különböző oldalán van. Tehát az a oldalhoz hozzáírt háromszög területe
TPQR=TPOAR+TROAQ-TPOAQ.
Felhasználva, hogy OAP=OAQ=OAR=ra, valamint, hogy β+γ=180-α, kapjuk, hogy
TPQR=ra22(sinβ+sinγ-sin(β+γ))=ra22(sinβ+sinγ-sinα).
Hasonlóan írható fel a b oldalhoz hozzáírt háromszög területe (rb a b oldalhoz hozzáírt kör sugara): rb22(sinα+sinγ-sinβ).
Bevezetve a 2s=a+b+c jelölést, valamint felhasználva a szinusztételt és a hozzáírt körök sugaraira vonatkozó ra(s-a)=rb(s-b) (=TABC) összefüggést (ennek bizonyítása megtalálható pl. Kiss Gy.: Amit jó tudni a háromszögekről, KöMaL 2002/3, 130‐139. old.), kapjuk, hogy a két hozzáírt háromszög területének aránya:
ra22(sinβ+sinγ-sinα)rb22(sinα+sinγ-sinβ)=1(s-a)21(s-b)2s-as-b=s-bs-a.