Kezdőlap


Feladat:	B.3646	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fehér Borbála
Füzet:	2004/január, 32. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Hozzáírt körök, Háromszög területe, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/május: B.3646

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a háromszög csúcsait és szögeit a szokásos módon $A$ , $B$ , $C$ , illetve $α$ , $β$ , $γ$ -val. Az $a$ oldalhoz hozzáírt háromszög csúcsait jelöljük az ábrán látható módon $P$ , $Q$ , $R$ -rel, a hozzáírt kör középpontját $O_{A}$ -val, sugarát pedig $r_{a}$ -val.

O_{A} R B P

és

O_{A} Q C R

négyszögek húrnégyszögek, ugyanis

P

-nél és

R

-nél, illetve

Q

-nál és

R

-nél lévő szögeik derékszögek, mert a hozzáírt kör érintői merőlegesek az érintési pontoz tartozó sugárra. Ezért

P O_{A} R ∢ = A B C ∢ = β

és

Q O_{A} R ∢ = A C B ∢ = γ

. Mivel

β + γ < 180^{\circ}

, azért

O_{A}

és

R

P Q

egyenes két különböző oldalán van. Tehát az

a

oldalhoz hozzáírt háromszög területe

\begin{matrix} T_{P Q R} = T_{P O_{A} R} + T_{R O_{A} Q} - T_{P O_{A} Q} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

O_{A} P = O_{A} Q = O_{A} R = r_{a}

, valamint, hogy

β + γ = 180^{\circ} - α

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} T_{P Q R} = \frac{r_{a}^{2}}{2} (sin β + sin γ - sin (β + γ)) = \frac{r_{a}^{2}}{2} (sin β + sin γ - sin α) . \end{matrix}

Hasonlóan írható fel a

b

oldalhoz hozzáírt háromszög területe (

r_{b}

b

oldalhoz hozzáírt kör sugara):

\frac{r_{b}^{2}}{2} (sin α + sin γ - sin β)

.
Bevezetve a

2 s = a + b + c

jelölést, valamint felhasználva a szinusztételt és a hozzáírt körök sugaraira vonatkozó

r_{a} (s - a) = r_{b} (s - b)

(= T_{A B C})

összefüggést (ennek bizonyítása megtalálható pl. Kiss Gy.: Amit jó tudni a háromszögekről, KöMaL 2002/3, 130‐139. old.), kapjuk, hogy a két hozzáírt háromszög területének aránya:

\begin{matrix} \frac{\frac{r_{a}^{2}}{2} (sin β + sin γ - sin α)}{\frac{r_{b}^{2}}{2} (sin α + sin γ - sin β)} = \frac{\frac{1}{{(s - a)}^{2}}}{\frac{1}{{(s - b)}^{2}}} \cdot \frac{s - a}{s - b} = \frac{s - b}{s - a} . \end{matrix}