Feladat: B.3639 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Bartha Ferenc ,  Bérczi Kristóf ,  Birkner Tamás ,  Bitai Tamás ,  Boros Balázs ,  Csakurda Edit ,  Czank Tamás ,  Farkas Balázs ,  Füredi Mihály ,  Hülber Tímea ,  Jelitai Kálmán ,  Jiaoni Guan ,  Kaposi Ambrus ,  Kaposvölgyi Lívia ,  Kiss-Tóth Christián ,  Komáromy Dani ,  Pálinkás Csaba ,  Peres Sámuel ,  Pongrácz András ,  Poronyi Balázs ,  Salát Máté ,  Strenner Balázs ,  Talabér Péter ,  Tóthmérész Lilla 
Füzet: 2004/január, 30 - 31. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mértani helyek, Egyenesek egyenlete, Ellipszis egyenlete, Koordináta-geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/április: B.3639

Vegyünk fel az AB szakasz A-n túli meghosszabbításán egy C pontot. A C pontban az AB egyenesre állított merőleges legyen e. Legyen D az e tetszőleges pontja és állítsunk AD-re merőlegest az A pontban. Ennek és DB-nek a metszéspontja legyen P.
Mi a P pontok mértani helye?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy az origója A legyen, B koordinátái pedig legyenek (1;0). Ekkor C(c;0), ahol c<0 rögzített, e egyenlete X=c, D koordinátái pedig (c;d), ahol d tetszőleges.
Ezek után P koordinátáit egyszerűen meghatározhatjuk. A BD egyenes egy irányvektora BD=(c-1;d), tehát egyenlete

dX-(c-1)Y=d.(1)
Az AP egyenes egy normálvektora AD=(c;d), tehát egyenlete
cX+dY=0.(2)
A két egyenes metszéspontja, azaz P koordinátái:
P(d2c2+d2-c;cdc-c2-d2).

 
 

A keresett mértani hely egyenletét a d paraméter kiküszöbölésével kaphatjuk meg. Az (1) egyenletből következik, hogy P koordinátái kielégítik a
dXY-(c-1)Y2=dY
egyenletet is, vagyis a (2)-ből következő dY=-cX összefüggést felhasználva a
-cX2-(c-1)Y2=-cX
egyenletet is. Ezt rendezve
(X-12)2+c-1cY2=14(3)
adódik, ami c<0 miatt egy E ellipszis egyenlete. A P pontok tehát mind rajta vannak az E ellipszisen, melynek középpontja AB felezőpontja, nagytengelye AB, kistengelyének hossza pedig cc-1.
Mivel c2-c>0, azért minden 0k<1 esetén az k=d2c2+d2-c egyenletnek létezik d-ben megoldása,
d=±k(c2-c)1-k,
k=1 esetén viszont nincs megfelelő d érték. Vagyis E minden olyan pontja előáll a két egyenes metszéspontjaként, melynek első koordinátája 1-nél kisebb.
Tehát a keresett mértani hely az E ellipszis, kivéve a B pontot.
Strenner Balázs (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján

 
Megjegyzés. Több megoldó úgy értelmezte a feladatot, hogy a C pont is változhat. Mivel a feladat szövegéből nem derült ki egyértelműen, hogy C rögzített pont, ezért ők is megkapták a teljes pontszámot, ha helyesen adták meg az ennek a feltételnek eleget tevő mértani helyet, ami az AB átmérőjű nyílt körlap és az A pont. Ez megoldásunkból egyszerűen következik: Ha C változik, akkor a mértani helyként kapott E ellipszis kistengelye változik. Mint láttuk, ennek hossza cc-1, ami minden 0 és 1 közti értéket felvehet, ha c tetszőleges negatív szám lehet. Ekkor tehát a mértani hely az összes ilyen ellipszisek uniója (kivéve B-t).