Kezdőlap


Feladat:	B.3639	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Backhausz Ágnes , Bartha Ferenc , Bérczi Kristóf , Birkner Tamás , Bitai Tamás , Boros Balázs , Csakurda Edit , Czank Tamás , Farkas Balázs , Füredi Mihály , Hülber Tímea , Jelitai Kálmán , Jiaoni Guan , Kaposi Ambrus , Kaposvölgyi Lívia , Kiss-Tóth Christián , Komáromy Dani , Pálinkás Csaba , Peres Sámuel , Pongrácz András , Poronyi Balázs , Salát Máté , Strenner Balázs , Talabér Péter , Tóthmérész Lilla
Füzet:	2004/január, 30 - 31. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Egyenesek egyenlete, Ellipszis egyenlete, Koordináta-geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/április: B.3639

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy az origója $A$ legyen, $B$ koordinátái pedig legyenek $(1; 0)$ . Ekkor $C (c; 0)$ , ahol $c < 0$ rögzített, $e$ egyenlete $X = c$ , $D$ koordinátái pedig $(c; d)$ , ahol $d$ tetszőleges.
Ezek után $P$ koordinátáit egyszerűen meghatározhatjuk. A $B D$ egyenes egy irányvektora $\vec{B D} = (c - 1; d)$ , tehát egyenlete

\begin{matrix} d X - (c - 1) Y = d . \end{matrix}

(1)

A P

egyenes egy normálvektora

\vec{A D} = (c; d)

, tehát egyenlete

\begin{matrix} c X + d Y = 0. \end{matrix}

(2)

A két egyenes metszéspontja, azaz

P

koordinátái:

\begin{matrix} P (\frac{d^{2}}{c^{2} + d^{2} - c}; \frac{c d}{c - c^{2} - d^{2}}) . \end{matrix}

A keresett mértani hely egyenletét a

d

paraméter kiküszöbölésével kaphatjuk meg. Az

(1)

egyenletből következik, hogy

P

koordinátái kielégítik a

\begin{matrix} d X Y - (c - 1) Y^{2} = d Y \end{matrix}

egyenletet is, vagyis a

(2)

-ből következő

d Y = - c X

összefüggést felhasználva a

\begin{matrix} - c X^{2} - (c - 1) Y^{2} = - c X \end{matrix}

egyenletet is. Ezt rendezve

\begin{matrix} {(X - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{c - 1}{c} Y^{2} = \frac{1}{4} \end{matrix}

(3)

adódik, ami

c < 0

miatt egy

E

ellipszis egyenlete. A

P

pontok tehát mind rajta vannak az

E

ellipszisen, melynek középpontja

A B

felezőpontja, nagytengelye

A B

, kistengelyének hossza pedig

\sqrt[]{\frac{c}{c - 1}}

.
Mivel

c^{2} - c > 0

, azért minden

0 \leq k < 1

esetén az

k = \frac{d^{2}}{c^{2} + d^{2} - c}

egyenletnek létezik

d

-ben megoldása,

\begin{matrix} d = \pm \sqrt[]{\frac{k (c^{2} - c)}{1 - k}}, \end{matrix}

k = 1

esetén viszont nincs megfelelő

d

érték. Vagyis

E

minden olyan pontja előáll a két egyenes metszéspontjaként, melynek első koordinátája

1

-nél kisebb.
Tehát a keresett mértani hely az

E

ellipszis, kivéve a

B

pontot.

Strenner Balázs (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Több megoldó úgy értelmezte a feladatot, hogy a

C

pont is változhat. Mivel a feladat szövegéből nem derült ki egyértelműen, hogy

C

rögzített pont, ezért ők is megkapták a teljes pontszámot, ha helyesen adták meg az ennek a feltételnek eleget tevő mértani helyet, ami az

A B

átmérőjű nyílt körlap és az

A

pont. Ez megoldásunkból egyszerűen következik: Ha

C

változik, akkor a mértani helyként kapott

E

ellipszis kistengelye változik. Mint láttuk, ennek hossza

\sqrt[]{\frac{c}{c - 1}}

, ami minden

0

és

1

közti értéket felvehet, ha

c

tetszőleges negatív szám lehet. Ekkor tehát a mértani hely az összes ilyen ellipszisek uniója (kivéve

B

-t).