Feladat: B.3627 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hubai Tamás 
Füzet: 2004/január, 26. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/március: B.3627

Mutassuk meg, hogy ha a pozitív a, b, c, d számok szorzata 1, akkor
a3+b3+c3+d3max{a+b+c+d;1a+1b+1c+1d}.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az állítást két részben bizonyítjuk. Először megmutatjuk, hogy ha abcd=1, akkor a3+b3+c3+d3a+b+c+d.
A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenségből

a+b+c+d4abcd4=1,
ahol egyenlőség csak az a=b=c=d esetben áll fenn, amikor is abcd=1 miatt mind a négy szám 1-gyel egyenlő. A számtani közép és a harmadik hatványközép közötti egyenlőtlenséget is figyelembe véve innen
a+b+c+d4(a+b+c+d4)3a3+b3+c3+d34.
Ennek alapján a3+b3+c3+d3a+b+c+d, ahol egyenlőség pontosan az a=b=c=d=1 esetben áll fenn.
Másodjára azt látjuk be, hogy ha abcd=1, akkor
a3+b3+c3+d31d+1c+1b+1a.

Ugyancsak a fent említett közepek között fennálló egyenlőtlenségek miatt
a3+b3+c3+d3=a3+b3+c33+a3+b3+d33+a3+c3+d33+b3+c3+d33(a+b+c3)3+(a+b+d3)3+(a+c+d3)3+(b+c+d3)3abc+abd+acd+bcd.
Azonban abcd=1 miatt abc+abd+acd+bcd=1d+1c+1b+1a, Ezzel a második egyenlőtlenséget is beláttuk. Az egyenlőség szükséges és elégséges feltétele ismét a=b=c=d=1.
A kapott két eredményt összevetve kapjuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget, melyben egyenlőség pontosan az a=b=c=d=1 esetben áll fenn.