Kezdőlap


Feladat:	B.3627	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hubai Tamás
Füzet:	2004/január, 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/március: B.3627

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az állítást két részben bizonyítjuk. Először megmutatjuk, hogy ha $a b c d = 1$ , akkor $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} \geq a + b + c + d$ .
A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenségből

\begin{matrix} \frac{a + b + c + d}{4} \geq \sqrt[4]{a b c d} = 1, \end{matrix}

ahol egyenlőség csak az

a = b = c = d

esetben áll fenn, amikor is

a b c d = 1

miatt mind a négy szám 1-gyel egyenlő. A számtani közép és a harmadik hatványközép közötti egyenlőtlenséget is figyelembe véve innen

\begin{matrix} \frac{a + b + c + d}{4} \leq {(\frac{a + b + c + d}{4})}^{3} \leq \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3}}{4} . \end{matrix}

Ennek alapján

a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} \geq a + b + c + d

, ahol egyenlőség pontosan az

a = b = c = d = 1

esetben áll fenn.
Másodjára azt látjuk be, hogy ha

a b c d = 1

, akkor

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} \geq \frac{1}{d} + \frac{1}{c} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a} . \end{matrix}

Ugyancsak a fent említett közepek között fennálló egyenlőtlenségek miatt

\begin{matrix} \begin{matrix} a^{3} + b^{3} & + & c^{3} + d^{3} = \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} + \frac{a^{3} + b^{3} + d^{3}}{3} + \frac{a^{3} + c^{3} + d^{3}}{3} + \frac{b^{3} + c^{3} + d^{3}}{3} \geq \\ \geq & {(\frac{a + b + c}{3})}^{3} + {(\frac{a + b + d}{3})}^{3} + {(\frac{a + c + d}{3})}^{3} + {(\frac{b + c + d}{3})}^{3} \geq \\ \geq & a b c + a b d + a c d + b c d . \end{matrix} \end{matrix}

Azonban

a b c d = 1

miatt

a b c + a b d + a c d + b c d = \frac{1}{d} + \frac{1}{c} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a}

, Ezzel a második egyenlőtlenséget is beláttuk. Az egyenlőség szükséges és elégséges feltétele ismét

a = b = c = d = 1

.
A kapott két eredményt összevetve kapjuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget, melyben egyenlőség pontosan az

a = b = c = d = 1

esetben áll fenn.