Feladat: B.3574 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Juhász Máté Lehel 
Füzet: 2003/május, 281 - 282. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pont körre vonatkozó hatványa, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/október: B.3574

A k1 kör a P pontban belülről érinti a k2 kört. A nagyobbik kör AB húrja a kisebbik kört a C pontban érinti, AP és BP pedig a D és az E pontban metszi a kisebbik kört. Tudjuk, hogy AB=84, PD=11, végül PE=10. Mekkora az AC hossza?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel a két kör P-nél levő érintője közös, PDE=PAB, hiszen a megfelelő körökben ahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek, amelyhez a P-nél keletkező érintőszárú kerületi szög is tartozik (ábra).

 
 
 

Az ABP és DEP háromszögek hasonlósága miatt így
PA:PB=PD:PE=11:10,
vagyis
PA=1110PBésPD=1110PE.
Ezért a szelőtétel szerint
AC2BC2=APADBPBE=PA(PA-PD)PB(PB-PE)=1110PB(1110PB-1110PE)PB(PB-PE)=112102,
azaz BC=1011AC. Innen 84=AB=AC+BC=2111AC, tehát AC=112184=44.
 
II. megoldás. Alkalmazzuk azt a P középpontú nagyítást, amely a kisebbik kört a nagyobbikba viszi. Ennek során D képe A, E képe B, így
PA:PB=PD:PE=11:10.
Az AB egyenes képe párhuzamos AB-vel, és érinti a nagyobbik kört; jelölje az érintési pontot F. Az F pont felezi az AB ívet, hiszen az érintő merőleges az érintési pontba húzott OF sugárra, ami ‐ merőleges lévén az érintővel párhuzamos AB húrra ‐ éppen az AB szakasz felező merőlegesén van. Így PF felezi az APB szöget. Mivel AB a C-ben érinti a kisebbik kört, a nagyítás során C képe F, azaz C a szögfelezőre esik. A szögfelező tétel szerint AC:CB=PA:PB=11:10, tehát
AC=1121AB=112184=44.

(Juhász Máté Lehel (Budapest, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.)