Feladat: B.3551 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Balogh János ,  Bartha Ferenc ,  Bereczki Péter ,  Birkner Tamás ,  Bóka Gergely ,  Eckert Bernadett ,  Garab Ábel ,  Gregó Kinga ,  Gyarmati Ákos ,  Hablicsek Márton ,  Hargitai Gábor ,  Hartmann Zoltán ,  Herczegh Attila ,  Jesch Dávid ,  Kevei Péter ,  Kocsis Albert Tihamér ,  Kórus Péter ,  Mátyás Péter ,  Pach Péter Pál ,  Pál Ágnes ,  Pallos Péter ,  Pálvölgyi Dénes ,  Paulin Dániel ,  Pongrácz András ,  Puskás Anna ,  Rácz Béla András ,  Révész Dániel ,  Salát Máté ,  Sásdy Gabriella ,  Simon Balázs ,  Szalai Attila ,  Szlama Adrián ,  Tóth János 
Füzet: 2003/február, 92 - 94. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatóság, Prímszámok, Maradékos osztás, kongruenciák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/április: B.3551

Legyenek az a, b, c, d olyan pozitív egészek, melyekre
a2+b2+ab=c2+d2+cd.
Bizonyítsuk be, hogy a+b+c+d összetett szám.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Az
x2+xy+y2=34(x+y)2+14(x-y)2
azonosság felhasználásával a feltételt 3(a+b)2+(a-b)2=3(c+d)2+(c-d)2 alakba írhatjuk.
Rendezés és szorzattá alakítás után innen
3(a+b+c+d)(a+b-c-d)+(a+c-b-d)(a+d-b-c)=0
adódik. Ha s a megadott egyenlőséget teljesítő a, b, c, d pozitív egészek összege, akkor az átrendezett feltétel a
3s(s-2c-2d)+(s-2b-2d)(s-2b-2c)=0
alakot ölti, s hatványai szerint rendezve:
4s2-(4b+8c+8d)s+4(b+d)(b+c)=0.
Mivel egész számokról van szó, innen következik, hogy s osztója a 4(b+d)(b+c) szorzatnak.
Ha s prímszám, akkor osztania kell ennek a szorzatnak valamelyik tényezőjét is. Mivel az adott számok pozitívak, azért 0<b+d, b+c<s, ezeket a tényezőket s nem oszthatja. Így ha s prímszám, akkor csak s4 teljesülhet. Ez viszont nyilvánvalóan lehetetlen, hiszen 4 egyetlen prímosztója 2, viszont négy pozitív egész összegeként s legalább 4.
Ez azt jelenti, hogy s valóban nem lehet prímszám.
(Hartmann Zoltán (Bonyhád, Petőfi Sándor Evangélikus Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

 
II. megoldás. Végezzük el az adott egyenlőségben az a=u+v2, b=u-v2, illetve a c=x+y2, d=x-y2 helyettesítéseket. Ekkor u=a+b, v=a-b, illetve x=c+d és y=c-d, az új változók egész számok, továbbá
s=a+b+c+d=u+x.

A helyettesítések után a bal oldal
(u+v2)2+u+v2u-v2+(u-v2)2=3u2+v24,
a jobb oldal pedig hasonlóan 3x2+y24. Az így adódó egyenlőséget rendezve
3(u+x)(u-x)=(y+v)(y-v)
adódik, s=u+x tehát osztója az (y+v)(y-v) szorzatnak. Ha pedig az s prímszám, akkor osztania kell ennek a szorzatnak valamelyik tényezőjét. Azonban
-s=-a-b-c-d<y+v=a-b+c-d<a+b+c+d=s,
tehát |y+v|<s, és ugyanígy kapjuk, hogy |y-v|<s.
Mindkét tényező abszolút értéke tehát határozottan kisebb, mint s; az s prím esetére talált oszthatóság eszerint csak úgy teljesülhet, ha a szóban forgó tényező értéke nulla. Így viszont a szorzat és a vele egyenlő bal oldal, 3(u+x)(u-x) is nulla. Ez utóbbi pedig pontosan akkor teljesül, ha u=x, az s tehát páros szám, és így valóban nem lehet prím, hiszen az értéke legalább 4.
 
III. megoldás. A fenti jelölésekkel nyilván a+b-(c+d)(mods), amit négyzetre emelve
(a+b)2(c+d)2(mods)
adódik. Alakítsuk át a feltétel egyenlőségének két oldalán álló mennyiségeket az
x2+xy+y2=(x+y)2-y(x+y)+y2
azonosság, illetve a kapott kongruenciák felhasználásával:
(a+b)2-b(a+b)+b2=(c+d)2-d(c+d)+d2(a+b)2+d(a+b)+d2(mods).
Innen rendezés után kapjuk, hogy
(d+b)(a+b)+d2-b2=(d+b)(a+d)0(mods),
azaz s osztója a T=(d+b)(a+d) szorzatnak. Mivel s=a+b+c+d és a megadott számok pozitív egészek, azért T mindkét tényezője kisebb s-nél, amely így egyiküknek sem lehet osztója. Ebből pedig következik, hogy s valóban nem prímszám.
(Pálvölgyi Dénes (Budapest, Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján