Feladat:	B.3551	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Backhausz Ágnes ,  Balogh János ,  Bartha Ferenc ,  Bereczki Péter ,  Birkner Tamás ,  Bóka Gergely ,  Eckert Bernadett ,  Garab Ábel ,  Gregó Kinga ,  Gyarmati Ákos ,  Hablicsek Márton ,  Hargitai Gábor ,  Hartmann Zoltán ,  Herczegh Attila ,  Jesch Dávid ,  Kevei Péter ,  Kocsis Albert Tihamér ,  Kórus Péter ,  Mátyás Péter ,  Pach Péter Pál ,  Pál Ágnes ,  Pallos Péter ,  Pálvölgyi Dénes ,  Paulin Dániel ,  Pongrácz András ,  Puskás Anna ,  Rácz Béla András ,  Révész Dániel ,  Salát Máté ,  Sásdy Gabriella ,  Simon Balázs ,  Szalai Attila ,  Szlama Adrián ,  Tóth János
Füzet:	2003/február, 92 - 94. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Prímszámok, Maradékos osztás, kongruenciák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: B.3551

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}{\left(x+y\right)}^2+\frac{1}{4}{\left(x-y\right)}^2}\end{array}$ azonosság felhasználásával a feltételt $3{\left(a+b\right)}^2+{\left(a-b\right)}^2=3{\left(c+d\right)}^2+{\left(c-d\right)}^2$ alakba írhatjuk. Rendezés és szorzattá alakítás után innen $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\left(a+b+c+d\right)\left(a+b-c-d\right)+\left(a+c-b-d\right)\left(a+d-b-c\right)=0}\end{array}$ adódik. Ha $s$ a megadott egyenlőséget teljesítő $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív egészek összege, akkor az átrendezett feltétel a $\begin{array}{c}{\displaystyle 3s\left(s-2c-2d\right)+\left(s-2b-2d\right)\left(s-2b-2c\right)=0}\end{array}$ alakot ölti, $s$ hatványai szerint rendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4s^2-\left(4b+8c+8d\right)s+4\left(b+d\right)\left(b+c\right)=0.}\end{array}$ Mivel egész számokról van szó, innen következik, hogy $s$ osztója a $4\left(b+d\right)\left(b+c\right)$ szorzatnak. Ha $s$ prímszám, akkor osztania kell ennek a szorzatnak valamelyik tényezőjét is. Mivel az adott számok pozitívak, azért $0<b+d$, $b+c<s$, ezeket a tényezőket $s$ nem oszthatja. Így ha $s$ prímszám, akkor csak $s\mid 4$ teljesülhet. Ez viszont nyilvánvalóan lehetetlen, hiszen 4 egyetlen prímosztója 2, viszont négy pozitív egész összegeként $s$ legalább 4. Ez azt jelenti, hogy $s$ valóban nem lehet prímszám. () Hartmann Zoltán (Bonyhád, Petőfi Sándor Evangélikus Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján   II. megoldás. Végezzük el az adott egyenlőségben az $a=\frac{u+v}{2}$, $b=\frac{u-v}{2}$, illetve a $c=\frac{x+y}{2}$, $d=\frac{x-y}{2}$ helyettesítéseket. Ekkor $u=a+b$, $v=a-b$, illetve $x=c+d$ és $y=c-d$, az új változók egész számok, továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle s=a+b+c+d=u+x\mathrm{.}}\end{array}$ A helyettesítések után a bal oldal $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2+\frac{u+v}{2}\cdot \frac{u-v}{2}+{\left(\frac{u-v}{2}\right)}^2=\frac{3u^2+v^2}{4}\mathrm{,}}\end{array}$ a jobb oldal pedig hasonlóan $\frac{3x^2+y^2}{4}$. Az így adódó egyenlőséget rendezve $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\left(u+x\right)\left(u-x\right)=\left(y+v\right)\left(y-v\right)}\end{array}$ adódik, $s=u+x$ tehát osztója az $\left(y+v\right)\left(y-v\right)$ szorzatnak. Ha pedig az $s$ prímszám, akkor osztania kell ennek a szorzatnak valamelyik tényezőjét. Azonban $\begin{array}{c}{\displaystyle -s=-a-b-c-d<y+v=a-b+c-d<a+b+c+d=s\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $|y+v|<s$, és ugyanígy kapjuk, hogy $|y-v|<s$. Mindkét tényező abszolút értéke tehát határozottan kisebb, mint $s$; az $s$ prím esetére talált oszthatóság eszerint csak úgy teljesülhet, ha a szóban forgó tényező értéke nulla. Így viszont a szorzat és a vele egyenlő bal oldal, $3\left(u+x\right)\left(u-x\right)$ is nulla. Ez utóbbi pedig pontosan akkor teljesül, ha $u=x$, az $s$ tehát páros szám, és így valóban nem lehet prím, hiszen az értéke legalább 4.   III. megoldás. A fenti jelölésekkel nyilván $a+b\equiv -\left(c+d\right)\left(\text{mod}s\right)$, amit négyzetre emelve $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a+b\right)}^2\equiv {\left(c+d\right)}^2\left(\text{mod}s\right)}\end{array}$ adódik. Alakítsuk át a feltétel egyenlőségének két oldalán álló mennyiségeket az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+xy+y^2={\left(x+y\right)}^2-y\left(x+y\right)+y^2}\end{array}$ azonosság, illetve a kapott kongruenciák felhasználásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle {\left(a+b\right)}^2-b\left(a+b\right)+b^2}& \hfill {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle {\left(c+d\right)}^2-d\left(c+d\right)+d^2\equiv }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& \hfill {\displaystyle \equiv }\hfill & {\displaystyle {\left(a+b\right)}^2+d\left(a+b\right)+d^2\left(\text{mod}s\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Innen rendezés után kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(d+b\right)\left(a+b\right)+d^2-b^2=\left(d+b\right)\left(a+d\right)\equiv 0\left(\text{mod}s\right)\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $s$ osztója a $T=\left(d+b\right)\left(a+d\right)$ szorzatnak. Mivel $s=a+b+c+d$ és a megadott számok pozitív egészek, azért $T$ mindkét tényezője kisebb $s$-nél, amely így egyiküknek sem lehet osztója. Ebből pedig következik, hogy $s$ valóban nem prímszám. () Pálvölgyi Dénes (Budapest, Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján