Feladat: B.3561 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Baráth Géza ,  Bartolits Dániel ,  Bérczi Kristóf ,  Bergmann Gábor ,  Bóka Gergely ,  Boros Balázs ,  Egri Attila ,  Fehér Gábor ,  Hablicsek Márton ,  Hargitai Gábor ,  Juhász Máté Lehel ,  Kiss-Tóth Christián ,  Kórus Péter ,  Pach Péter Pál ,  Pálinkás Csaba ,  Pallos Péter ,  Paulin Dániel ,  Puskás Anna ,  Rácz Béla András ,  Révész Dániel ,  Salát Máté ,  Sándor Ágnes ,  Sándor Nóra Katalin ,  Siroki László ,  Szabó Botond ,  Tábor Áron 
Füzet: 2003/január, 35 - 37. oldal  PDF file
Témakör(ök): Alakzatok köré írt kör, Egyéb poliéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/május: B.3561

Egy konvex poliéder minden csúcsából pontosan három él indul ki. Egy lap kivételével a poliéder minden lapjáról tudjuk, hogy van körülírt köre. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a poliéder valamennyi lapjának van körülírt köre.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Nevezzük kivételesnek azt a lapot, amelyről nem tudjuk, hogy van körülírt köre. Tekintsük azokat a csúcsokat, amelyek nincsenek rajta a kivételes lapon. Legyen A egy ilyen csúcs. Az A-ból kiinduló három él végpontjai (A-val együtt) egy tetraédert határoznak meg, amelynek egyértelműen létezik a GA körülírt gömbje. A konvex poliéder A-t tartalmazó három lapja ‐ mivel a poliéder minden csúcsából három él indul ki, ezért a poliéder minden csúcsa három lapon van rajta ‐ GA-t egy-egy körben metszi. Ezek a körök a megfelelő lapoknak legalább három-három csúcsát tartalmazzák, ezért megegyeznek a lapok körülírt köreivel. Vagyis az A-t tartalmazó lapok valamennyi csúcsa ‐ azok is, amelyek esetleg a kivételes lapon is rajta vannak ‐ GA-n van.

 
 

1. ábra
 

Legyen B és C két olyan csúcs, amelyek egyike sincs rajta a kivételes lapon, a BC szakasz pedig a poliéder egyik éle. Legyen GB és GC az előző bekezdésben leírtak szerint B-hez, illetve C-hez tartozó gömb. A poliéder BC élére illeszkedő két lapjának körülírt köreit mind a két gömb tartalmazza. Két, egymást metsző, de nem egy síkban lévő körvonal viszont egyértelműen meghatároz egy mindkettőjüket tartalmazó gömbfelületet (2. ábra), ezért GB és GC azonos.
 
 

2. ábra
 

A poliéder élei által alkotott gráf akkor is összefüggő marad, ha a kivételes lapon lévő éleket elhagyjuk, ezért az eddigiekből következik, hogy azok a csúcsok, amelyek nincsenek rajta a kivételes lapon, valamennyien rajta vannak egy G gömbön. Sőt, G tartalmazza azokat a csúcsokat is, amelyeknek van olyan szomszédja, amelyik nincs rajta a kivételes lapon. Viszont ilyen szomszédja a kivételes lap minden csúcsának van (mindegyiknek pontosan egy), ezért a poliéder minden csúcsa G-n van.
Tehát a kivételes lap minden csúcsa rajta van a lap síkjának és G-nek a metszetén, vagyis a kivételes lapnak is van körülírt köre.
(Juhász Máté Lehel (Budapest, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. évf.) dolgozatának felhasználásával

 
 

3. ábra
 

Megjegyzés. Feladatunk állítása nem igaz, ha nem követeljük meg, hogy a poliéder minden csúcsából pontosan három él induljon ki. Például legyen ABCDM egy olyan négyszög alapú gúla, melynek ABCD alaplapja nem húrnégyszög (3. ábra). A lapok ABCD kivételével háromszögek, tehát van körülírt körük, ABCD-nek viszont nincs. Feladatul hagyjuk annak meggondolását, hogy bizonyításunk miért nem működik ebben az esetben.