|
Feladat: |
B.3561 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Backhausz Ágnes , Baráth Géza , Bartolits Dániel , Bérczi Kristóf , Bergmann Gábor , Bóka Gergely , Boros Balázs , Egri Attila , Fehér Gábor , Hablicsek Márton , Hargitai Gábor , Juhász Máté Lehel , Kiss-Tóth Christián , Kórus Péter , Pach Péter Pál , Pálinkás Csaba , Pallos Péter , Paulin Dániel , Puskás Anna , Rácz Béla András , Révész Dániel , Salát Máté , Sándor Ágnes , Sándor Nóra Katalin , Siroki László , Szabó Botond , Tábor Áron |
Füzet: |
2003/január,
35 - 37. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Alakzatok köré írt kör, Egyéb poliéderek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2002/május: B.3561 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Nevezzük kivételesnek azt a lapot, amelyről nem tudjuk, hogy van körülírt köre. Tekintsük azokat a csúcsokat, amelyek nincsenek rajta a kivételes lapon. Legyen egy ilyen csúcs. Az -ból kiinduló három él végpontjai (-val együtt) egy tetraédert határoznak meg, amelynek egyértelműen létezik a körülírt gömbje. A konvex poliéder -t tartalmazó három lapja ‐ mivel a poliéder minden csúcsából három él indul ki, ezért a poliéder minden csúcsa három lapon van rajta ‐ -t egy-egy körben metszi. Ezek a körök a megfelelő lapoknak legalább három-három csúcsát tartalmazzák, ezért megegyeznek a lapok körülírt köreivel. Vagyis az -t tartalmazó lapok valamennyi csúcsa ‐ azok is, amelyek esetleg a kivételes lapon is rajta vannak ‐ -n van.
Legyen és két olyan csúcs, amelyek egyike sincs rajta a kivételes lapon, a szakasz pedig a poliéder egyik éle. Legyen és az előző bekezdésben leírtak szerint -hez, illetve -hez tartozó gömb. A poliéder élére illeszkedő két lapjának körülírt köreit mind a két gömb tartalmazza. Két, egymást metsző, de nem egy síkban lévő körvonal viszont egyértelműen meghatároz egy mindkettőjüket tartalmazó gömbfelületet (2. ábra), ezért és azonos.
A poliéder élei által alkotott gráf akkor is összefüggő marad, ha a kivételes lapon lévő éleket elhagyjuk, ezért az eddigiekből következik, hogy azok a csúcsok, amelyek nincsenek rajta a kivételes lapon, valamennyien rajta vannak egy gömbön. Sőt, tartalmazza azokat a csúcsokat is, amelyeknek van olyan szomszédja, amelyik nincs rajta a kivételes lapon. Viszont ilyen szomszédja a kivételes lap minden csúcsának van (mindegyiknek pontosan egy), ezért a poliéder minden csúcsa -n van. Tehát a kivételes lap minden csúcsa rajta van a lap síkjának és -nek a metszetén, vagyis a kivételes lapnak is van körülírt köre. () Juhász Máté Lehel (Budapest, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. évf.) dolgozatának felhasználásával |
Megjegyzés. Feladatunk állítása nem igaz, ha nem követeljük meg, hogy a poliéder minden csúcsából pontosan három él induljon ki. Például legyen egy olyan négyszög alapú gúla, melynek alaplapja nem húrnégyszög (3. ábra). A lapok kivételével háromszögek, tehát van körülírt körük, -nek viszont nincs. Feladatul hagyjuk annak meggondolását, hogy bizonyításunk miért nem működik ebben az esetben.
|
|