Feladat: B.3547 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Eckert Bernadett ,  Gyarmati Ákos 
Füzet: 2002/december, 545 - 547. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/április: B.3547

Bizonyítsuk be, hogy ha az f függvényre
f(x+1)+f(x-1)=2f(x)
minden valós x-re teljesül, akkor a függvény periodikus.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Helyettesítsünk (1)-ben x helyére (x-1)-et:

f(x)+f(x-2)=2f(x-1).(2)
Helyettesítsünk (1)-ben x helyére (x+1)-et:
f(x+2)+f(x)=2f(x+1).(3)
Adjuk össze (2)-t és (3)-at:
2f(x)+f(x-2)+f(x+2)=2[f(x-1)+f(x+1)],
ami (1) alapján
2f(x)+f(x-2)+f(x+2)=2f(x)
alakban írható. Vagyis
f(x-2)+f(x+2)=0,f(x+2)=-f(x-2).
Helyettesítsünk x helyére (x+2)-t:
f(x+4)=-f(x).
Helyettesítsünk x helyére (x+4)-et:
f(x+8)=-f(x+4)=f(x).
Tehát az f függvény valóban periodikus.
Eckert Bernadett (Bonyhád, Petőfi S. Evangélikus Gimn. 9. évf.)

 
II. megoldás. Írjuk át (1)-et a következő alakba:
f(x)=22f(x+1)+22f(x-1).(2)
A további f(x+a) értékeket f(x+1) és f(x-1) segítségével fogjuk kifejezni.
(1)-ben x helyére írjunk (x+1)-et:
f(x+2)+f(x)=2f(x+1).
(2)-t behelyettesítve:
f(x+2)+22f(x+1)+22f(x-1)=2f(x+1),f(x+2)=22f(x+1)-22f(x-1).
(1)-ben x helyére írjunk (x+2)-t, ekkor az imént kapott formula szerint
f(x+3)+f(x+1)=2f(x+2)=f(x+1)-f(x-1),
vagyis
f(x+3)=-f(x-1).
(1)-ben x helyére írjunk (x+3)-at:
f(x+4)+f(x+2)=2f(x+3).
Az eddigiek felhasználásával ezt így írhatjuk:
f(x+4)+22f(x+1)-22f(x-1)=-2f(x-1),f(x+4)=-22f(x-1)-22f(x+1).
(1)-ben x helyére írjunk (x+4)-et:
f(x+5)+f(x+3)=2f(x+4).
Az eddigiek felhasználásával:
f(x+5)-f(x-1)=-f(x-1)-f(x+1),f(x+5)=-f(x+1).
(1)-ben x helyére írjunk (x+5)-öt:
f(x+6)+f(x+4)=2f(x+5).
Az eddigiek felhasználásával:
f(x+6)-22f(x-1)-22f(x+1)=-2f(x+1),f(x+6)=22f(x-1)-22f(x+1).
(1)-ben x helyére írjunk (x+6)-ot:
f(x+7)+f(x+5)=2f(x+6).
Az eddigiek felhasználásával:
f(x+7)-f(x+1)=f(x-1)-f(x+1),f(x+7)=f(x-1).
Helyettesítsünk itt x helyére (x+1)-et:
f(x+8)=f(x).
Az f függvény tehát valóban periodikus.
Gyarmati Ákos (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., 9. évf.)