Kezdőlap


Feladat:	B.3547	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Eckert Bernadett , Gyarmati Ákos
Füzet:	2002/december, 545 - 547. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: B.3547

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Helyettesítsünk (1)-ben $x$ helyére $(x - 1)$ -et:

\begin{matrix} f (x) + f (x - 2) = \sqrt[]{2} \cdot f (x - 1) . \end{matrix}

(2)

Helyettesítsünk (1)-ben

x

helyére

(x + 1)

-et:

\begin{matrix} f (x + 2) + f (x) = \sqrt[]{2} \cdot f (x + 1) . \end{matrix}

(3)

Adjuk össze (2)-t és (3)-at:

\begin{matrix} 2 f (x) + f (x - 2) + f (x + 2) = \sqrt[]{2} \cdot [f (x - 1) + f (x + 1)], \end{matrix}

ami (1) alapján

\begin{matrix} 2 f (x) + f (x - 2) + f (x + 2) = 2 \cdot f (x) \end{matrix}

alakban írható. Vagyis

\begin{matrix} f (x - 2) + f (x + 2) = 0, f (x + 2) = - f (x - 2) . \end{matrix}

Helyettesítsünk

x

helyére

(x + 2)

-t:

\begin{matrix} f (x + 4) = - f (x) . \end{matrix}

Helyettesítsünk

x

helyére

(x + 4)

-et:

\begin{matrix} f (x + 8) = - f (x + 4) = f (x) . \end{matrix}

Tehát az

f

függvény valóban periodikus.

Eckert Bernadett (Bonyhád, Petőfi S. Evangélikus Gimn. 9. évf.)

II. megoldás. Írjuk át (1)-et a következő alakba:

\begin{matrix} f (x) = \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x + 1) + \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x - 1) . \end{matrix}

(2)

A további

f (x + a)

értékeket

f (x + 1)

és

f (x - 1)

segítségével fogjuk kifejezni.
(1)-ben

x

helyére írjunk

(x + 1)

-et:

\begin{matrix} f (x + 2) + f (x) = \sqrt[]{2} \cdot f (x + 1) . \end{matrix}

(2)-t behelyettesítve:

\begin{matrix} \begin{matrix} f (x + 2) + \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x + 1) + \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x - 1) = \sqrt[]{2} \cdot f (x + 1), \\ f (x + 2) = \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x + 1) - \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x - 1) . \end{matrix} \end{matrix}

(1)-ben

x

helyére írjunk

(x + 2)

-t, ekkor az imént kapott formula szerint

\begin{matrix} f (x + 3) + f (x + 1) = \sqrt[]{2} \cdot f (x + 2) = f (x + 1) - f (x - 1), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} f (x + 3) = - f (x - 1) . \end{matrix}

(1)-ben

x

helyére írjunk

(x + 3)

-at:

\begin{matrix} f (x + 4) + f (x + 2) = \sqrt[]{2} \cdot f (x + 3) . \end{matrix}

Az eddigiek felhasználásával ezt így írhatjuk:

\begin{matrix} \begin{matrix} f (x + 4) + \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x + 1) - \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x - 1) = - \sqrt[]{2} \cdot f (x - 1), \\ f (x + 4) = - \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x - 1) - \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x + 1) . \end{matrix} \end{matrix}

(1)-ben

x

helyére írjunk

(x + 4)

-et:

\begin{matrix} f (x + 5) + f (x + 3) = \sqrt[]{2} \cdot f (x + 4) . \end{matrix}

Az eddigiek felhasználásával:

\begin{matrix} \begin{matrix} f (x + 5) - f (x - 1) = - f (x - 1) - f (x + 1), \\ f (x + 5) = - f (x + 1) . \end{matrix} \end{matrix}

(1)-ben

x

helyére írjunk

(x + 5)

-öt:

\begin{matrix} f (x + 6) + f (x + 4) = \sqrt[]{2} \cdot f (x + 5) . \end{matrix}

Az eddigiek felhasználásával:

\begin{matrix} \begin{matrix} f (x + 6) - \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x - 1) - \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x + 1) = - \sqrt[]{2} \cdot f (x + 1), \\ f (x + 6) = \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x - 1) - \frac{\sqrt[]{2}}{2} f (x + 1) . \end{matrix} \end{matrix}

(1)-ben

x

helyére írjunk

(x + 6)

-ot:

\begin{matrix} f (x + 7) + f (x + 5) = \sqrt[]{2} \cdot f (x + 6) . \end{matrix}

Az eddigiek felhasználásával:

\begin{matrix} \begin{matrix} f (x + 7) - f (x + 1) = f (x - 1) - f (x + 1), \\ f (x + 7) = f (x - 1) . \end{matrix} \end{matrix}

Helyettesítsünk itt

x

helyére

(x + 1)

-et:

\begin{matrix} f (x + 8) = f (x) . \end{matrix}

f

függvény tehát valóban periodikus.

Gyarmati Ákos (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., 9. évf.)