Feladat: B.3535 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baráth Géza ,  Bartolits Dániel ,  Bóka Gergely ,  Buti Tamás ,  Filus Tamás ,  Gregó Kinga ,  Hablicsek Márton ,  Hargitai Gábor ,  Hegyi Gábor ,  Kalmár Bence ,  Kirilly Miklós ,  Klobb Maja ,  Komjáthy Júlia ,  Kórus Gergely ,  Kovács Dóra Judit ,  Kovács Levente ,  Lengyel Zoltán ,  Lorántfy Bettina ,  Mánfay Máté ,  Molnár Ágnes ,  Nagy Szabolcs ,  Pálinkás Csaba ,  Polarecki Tamás ,  Pongrácz András ,  Rácz Béla András ,  Rácz Judit ,  Salát Máté ,  Simon Balázs ,  Somogyi Dávid ,  Szilágyi Péter ,  Tölgyesi Csaba ,  Udvari Balázs ,  Varga Nóra ,  Várnai Csilla ,  Vaskó Richárd ,  Visnovitz Ferenc 
Füzet: 2002/december, 540 - 541. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek geometriája, Vektorok skaláris szorzata, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/március: B.3535

Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög BC, CA és AB oldalegyenesein lévő U, V, W pontokban az oldalakra állított merőlegesek pontosan akkor mennek át egy ponton, ha
AW2+BU2+CV2=AV2+CU2+BW2.

 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azt mutatjuk meg, hogy ha a merőlegesek egy ponton mennek át, akkor fennáll az (1) egyenlőség. Jelöljük a merőlegesek közös pontját M-mel. Az 1. ábrán látható AM, BM és CM átfogójú, összesen hat darab (esetleg elfajuló) derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint

AW2+MW2=AM2=AV2+MV2,BU2+MU2=BM2=BW2+MW2,CV2+MV2=CM2=CU2+MU2.
A jobb-, illetve a bal oldalakat összeadva, majd mindkét oldalból kivonva (MW2+MU2+MV2)-et, éppen a bizonyítandó (1) összefüggést kapjuk.
 


 

1. ábra

 
 

2. ábra

 

Tegyük most fel, hogy (1) teljesül. Állítsunk U-ban merőlegest a BC, V-ben pedig a CA oldalra. Legyen M e két merőleges metszéspontja, az M-ből AB-re állított merőleges talppontját pedig jelöljük W'-vel (2. ábra). Ekkor az előzőkben bizonyítottak alapján
AW'2+BU2+CV2=AV2+CU2+BW'2,
feltevésünk szerint pedig
AW2+BU2+CV2=AV2+CU2+BW2.
A két egyenlőséget kivonva egymásból kapjuk, hogy
AW'2-AW2=BW'2-BW2.(2)

Megmutatjuk, hogy ez csak akkor lehetséges, ha WW'. Ezt legegyszerűbben vektorok segítségével láthatjuk be. (2)-ből következik, hogy
AW'2-AW2=BW'2-BW2,
azaz
AW2-BW2=AW'2-BW'2=(AW+WW')2-(BW+WW')2==AW2-BW2+2WW'(AW-BW).
Tehát
WW'(AW-BW)=WW'AB=0.
Mivel AB0, továbbá WW' párhuzamos az AB-ral, a szorzat csak akkor lehet 0, ha WW'=0, azaz ha W' egybeesik W-vel. Ezzel az állítás második felét is bebizonyítottuk.
Nagy Szabolcs (Budapest, ELTE Trefort Ágoston Gyak. Isk., 12. évf.)