Kezdőlap


Feladat:	B.3535	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baráth Géza , Bartolits Dániel , Bóka Gergely , Buti Tamás , Filus Tamás , Gregó Kinga , Hablicsek Márton , Hargitai Gábor , Hegyi Gábor , Kalmár Bence , Kirilly Miklós , Klobb Maja , Komjáthy Júlia , Kórus Gergely , Kovács Dóra Judit , Kovács Levente , Lengyel Zoltán , Lorántfy Bettina , Mánfay Máté , Molnár Ágnes , Nagy Szabolcs , Pálinkás Csaba , Polarecki Tamás , Pongrácz András , Rácz Béla András , Rácz Judit , Salát Máté , Simon Balázs , Somogyi Dávid , Szilágyi Péter , Tölgyesi Csaba , Udvari Balázs , Varga Nóra , Várnai Csilla , Vaskó Richárd , Visnovitz Ferenc
Füzet:	2002/december, 540 - 541. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek geometriája, Vektorok skaláris szorzata, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/március: B.3535

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azt mutatjuk meg, hogy ha a merőlegesek egy ponton mennek át, akkor fennáll az (1) egyenlőség. Jelöljük a merőlegesek közös pontját $M$ -mel. Az 1. ábrán látható $A M$ , $B M$ és $C M$ átfogójú, összesen hat darab (esetleg elfajuló) derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} \begin{matrix} A W^{2} + M W^{2} & = A M^{2} = A V^{2} + M V^{2}, \\ B U^{2} + M U^{2} & = B M^{2} = B W^{2} + M W^{2}, \\ C V^{2} + M V^{2} & = C M^{2} = C U^{2} + M U^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

A jobb-, illetve a bal oldalakat összeadva, majd mindkét oldalból kivonva

(M W^{2} + M U^{2} + M V^{2})

-et, éppen a bizonyítandó (1) összefüggést kapjuk.

1. ábra

2. ábra

Tegyük most fel, hogy (1) teljesül. Állítsunk

U

-ban merőlegest a

B C

V

-ben pedig a

C A

oldalra. Legyen

M

e két merőleges metszéspontja, az

M

-ből

A B

-re állított merőleges talppontját pedig jelöljük

W'

-vel (2. ábra). Ekkor az előzőkben bizonyítottak alapján

\begin{matrix} {A W'}^{2} + B U^{2} + C V^{2} = A V^{2} + C U^{2} + {B W'}^{2}, \end{matrix}

feltevésünk szerint pedig

\begin{matrix} A W^{2} + B U^{2} + C V^{2} = A V^{2} + C U^{2} + B W^{2} . \end{matrix}

A két egyenlőséget kivonva egymásból kapjuk, hogy

\begin{matrix} {A W'}^{2} - A W^{2} = {B W'}^{2} - B W^{2} . \end{matrix}

(2)

Megmutatjuk, hogy ez csak akkor lehetséges, ha

W \equiv W'

. Ezt legegyszerűbben vektorok segítségével láthatjuk be. (2)-ből következik, hogy

\begin{matrix} {\vec{A W'}}^{2} - {\vec{A W}}^{2} = {\vec{B W'}}^{2} - {\vec{B W}}^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \begin{matrix} {\vec{A W}}^{2} - {\vec{B W}}^{2} & = {\vec{A W'}}^{2} - {\vec{B W'}}^{2} = {(\vec{A W} + \vec{W W'})}^{2} - {(\vec{B W} + \vec{W W'})}^{2} = \\ = {\vec{A W}}^{2} - {\vec{B W}}^{2} + 2 \cdot \vec{W W'} \cdot (\vec{A W} - \vec{B W}) . \end{matrix} \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} \vec{W W'} \cdot (\vec{A W} - \vec{B W}) = \vec{W W'} \cdot \vec{A B} = 0. \end{matrix}

Mivel

\vec{A B} \neq 0

, továbbá

\vec{W W'}

párhuzamos az

\vec{A B}

-ral, a szorzat csak akkor lehet 0, ha

\vec{W W'} = 0

, azaz ha

W'

egybeesik

W

-vel. Ezzel az állítás második felét is bebizonyítottuk.

Nagy Szabolcs (Budapest, ELTE Trefort Ágoston Gyak. Isk., 12. évf.)